DES MATHÉMATIQUES. Part. V. Liv. I. 287é~~ î V~ > — x -4- V xx — 1 ; d’où , en dégageant 2' , on tiree * \/“—

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On trouvera de même que y , ou le co-sinus de z , serae \y/^i _j_ e—iV /r —~ Id —-ô-

-, expressions singulières par leur com-

plication d’imaginaires ; mais qui n'en sont pas moins propresà déduire avec facilité diverses vérités sur les propriétés rela-tives de l’hyperbole et du cercle , des moyens nouveaux decalculer les rapports des sinus , co-sinus, tangentes et des arcsmultiples ou croissant arithmétiquement, &c.

En effet , supposons ( fig. òj ) une hyperbole équilatère dontle centre soit C et la demi-axe transverse = x , l’abscisse comptéedu centre = x , le secteur CAB = ^ a , l’ordonnée BD —y -, ilfaut d’abord remarquer que l’ordonnée BD dans l’hyperbolerépond an sinus, et l’abscisse CD au co-sinus dans le cercle.Supposant donc ce que dessus , on trouve dans l’hyperbole

l’équatíon différentielle da — - ^ , dont par un procédé

semblable au précédent on tire x = ‘ a + s'\ et y —

valeurs qui ne diffèrent de celles trouvées pour le cercle, que

parcs qu’ici on ne trouve point l’expression imaginaire V— 1.

Cette analogie entre le cercle et l’hyperbole se soutient etse démontre par ces expressions entre les sinus et co-sinus del’un , et les ordonnées et abscisses de l’autre. Car de mêmeque dans le cercle , sinus a x cos. b— 1- cos. a x sin. b=z sin. a -f- b,de même dans l’hyperbole si l’on a deux secteurs ( qui répondentaux arcs ou aux secteurs qui leur sont proportionnels dans lecercle ) , on doit avoir ord. a x absc. de b, -+- ord. b x absc. a— absc. a -H b , et cela se démontre au moyen des expressionsci-dessus , qui se trouvent les mêmes , sinon que celles pour

le cercle sont compliquées du signe imaginaire j/— 1, tandisque l’expression pour les abscisses et ordonnées de l’hyperboleen est affranchie. Lambert, dans un mémoire de l’académie-de Berlin, année 1768 , et intitulé Observations trigonomé-trìques , a mis dans un jour particulier cette syinbolisationentre les sinus et co-sinus du cercle et les ordonnées et abs-cisses de l’hyperbole, que par cette raison il nomme sinus etco-sinus hyperboliques , et il la démontre par un parallélismeexact et presque une identité entre les formules de sinus etde co-sinus, et même de tangentes, selon les différens cas ourapports d’arcs circulaires, et celles des sinus, co - sinus et