283 HISTOIRE

tangentes hyperboliques clans les cas analogues ou diíférensrapports de secteurs hyperboliques. Ainsi, pour en donner encoreun exemple, de même^que dans le cercle sin. 2y—2 sin.y- x cos.yyainsi dans l’hyperbole, si ay exprime un secteur double de y ,on aura sin. h y p. sy — 2 sin. hyp. y X cos. hyp. y , où l’or-donnée du secteur double 2y, égale deux fois le rectangle del’ordonnée du secteur simple par son abscisse , le tout divisépar le demi-axe transverse , comme dans la formule circulaire2 sin. y cos. y, on sous-entend divisé par le rayon. Lamberta même calculé sur ce principe des tables de sinus et co sinushyperboliques , devant servir à ce qu’il appelle une trigonomé-trie hyperbolique, et à la solution de certains cas de problèmesastronomiques où la trigonométrie circulaire paroît être endéfaut. Mais nous nous bornons à cette indication.

L’expression du sinus de l’arc de cercle que nous nommerons

ici z 1 savoar x ;d y /— 1 H- c~

e V :

e—\V~

, et celle du co - sinus ,

Y~

2 ~y — 1

-, peuvent servir à déduire les séries

y

connues qui donnent la valeur du sinus et du co-sinus par

l’arc. Car on n’a qu’à réduire en séries, et

faire les opérations indiquées sur les expressions ci dessus , on

trouvera pour le sinus , x = z •tl _Il lî-

t 7

1.2.3

&c.

1.2.3.4.5 -.r.;. 4 .;. 6 - 7 '

&C.

y — * ,. î -f 1.1.5.4 1.2.3.4.5.1s

En effet, on a pour 1 cette série 1 +zV>

1 -f-

t*

-i- —-, & c. et pour e W 1 celle-ci , 1 — zV — 1 -t- ^

_ tV— 1 , &c. (1). Donc ôtant la seconde de la première , et

3 __ _

divisant par 2 V — 1 , les V — 1 disparoîtront , ce qui donnela série en question. Ajoutant au contraire la seconde à la pre-mière , les termes où se trouve ~]/— 1 auront des signes con-traires qui les feront au 6 si disparoître, et le restant divisé par2 donnera l’autre série.

L’expression de Tare de cercle par la tangente présente aussi,

On deifiandera sans doute comment

ét,y — 1 se réduit dans la série indi-quée ; on le verra Iorsqu’on traitera deslogarithmes : car on y fait voir que , eL tant le nombre dont le logarithme est

f unité , on e* — 1^ ~, &c.

Si donc au lieu de x om met — I

et — z \/— 1 et leurs puissances, ontrouvera les sériés ci-dessus.

<étant