DES MATHÉMATIQUES. Part. V. Liv. I. 289étant traitée de la même manière , des 1 formules qui, quoiquecompliquées d’imaginaires j ne laissent pas d’avoir leur uti-lité ; mais les exemples donnés ci- dessus doivent suffire eii,çe lieu. . > 1, .

Une formule dont il est fréquemment fait usage dans leSécrits des analystes modernes , et principalement de ceux duContinent, dans les. Recherches physico - mathématiques , estcelle-ci : Que 9 représente un angle quelconque , on a

Cósí n<p^t:Y —1 1 sin. còs. 9ï+r Y -—U sin. 9 , ce qui sedémontre de.diverses manières pi°. par ìe simple calcul Ana-lytique des sinus et co-sinus d’angles, comme on le volt dansl’ Analysis infini torum d’Luler 1 , cap. VIII ; 2 0 . au moyen ducalcul différentiel ; on peut voir au surplus l’une et l’autre danschapitre III des Elémens 'du calcul intégral des PP. Leseur etJacquier. Le célèbre Jean Bernoulli , qui esí le premier auteurde cette introduction des imaginaires dans le calcul, employéd’une manière ingénieuse cette expression à en trouver uneeutre dont il déduit les expressions générales des co-sinus et«inus d'arcs multiples. Car l’expression ci dessus donne i°. en em-

ployant les signes supérieurs Y —1 sin. n<p—cos.<p-f V — 1 sin. 9

— cos. n<p ; 2 0 . en employant les signes inférieurs , on a

1 /~— •„ -w— — : ", d’où l’on a

V — 1 sin. n<. p = cos. n<p — cos. 9 — V — 1 sin. 9 ’

àV '— 1 sin. «9 — cos. y Y — I sin. 9 — cos. 9 — Y — 1 sin. 9 ;

donc sin. n<p = cos. 9 + V / — 1 sin. 9 — cos. 9 — Y— 1 sin. 9 . e t par

a Y — 1

un procédé semblable , tirant la valeur de cos. -Vîp, on trouve

COS. 7Z9 = co 8 - 9 •+■ Y — 1 sin. 9 -f- cos. 9 — y/ — I sin. 9

2 . * •

Or réduisant par la formule du binôme ces puissances n decos. 9 ±Y — i sin. 9 en séries, les soustrayant l’une de l’autrepour sin. «9, et divisant par 2 Y — 1 , les ajoutant et divisantpat 2 pour cos. «9 , on a cette double série, dont ont disparu

w® 1umg111a.ii eo, r n. n —1« n- ‘ - ‘

— 3 cos. 9" 4 sin. <p\.ôcc.

— r~ * ~ 608. 9"? sin. 9 3 , &c. La loi de la progression est

dvidente pour quiconque est un peu versé en analyse. On voitégalement que toutes les fois que n sera un uombre entier ,la série se terminera, et l’on aura une expression finie pour lesinus et le co-sinus de Tare multiple. ’

Tome III. O o