PRÉLIMINAIRES.

precedents sans faire usage des latitudes croissantes : on cherched abord la différence en latitude de la même manière, c’est-à-dire , par le premier principe ; on cherche ensuite les milles E.ou O., par le2 e principe; après quoi, on fait une somme deslatitudes, on en prend la moitié que l’on appelle latitude moyenne;on trouve la différence en longitude, par la proportionu 3 principe; mais les milles déterminés par le 2 e principesont sensiblement plus grands , quand la route est extrêmement

XXXV

longue; de plus, la latitude moyenne est peu exacte; enfin, ilfaut une proposition de plus.

Je terminerai cet article par la question suivante :

Supposons qu’un navire se trouve sous le cercle polaire arc-tique et sous le méridien de Paris , au solstice d’été, et qu’ilveuille se rendre aux antipodes, pour le solstice d’hiver, parla route de l’O., en admettant qu’il n’y ait aucun obstacle : ondemande le rumb de vent, le chemin et la vitesse par heure.

Latitude du départ N. 66° 3a f .o

Latitude d’arrivée S. 66 3 s .0

Latitude croiss. de départ 54 o 3Latitude croiss. d’; rrivée 54 p 3

Longitude du départ o° oo'.o

Longitude d’arrivée O. ï8o oo .0

Changement en latitude 7984 m. S. i 33 ° o 4 f *0

Différence enlat. croiss. 10806

Différence en longitude, 10800m. 0 . 180° oo'.o

Cos. rumb, 44 0 59' —L. o.ï5o389

l R différ. enlatit. 7984m. L.N. 3.902221

Rumb valu.

S. 44 ° O.

ou S.O. 0 i S.

Différence lat. croiss. 10806m.—L.N. 5-966335

• riiffércnce longitude 10800 L.N. 4-o33424

: chemin 11288 m. L. N. 4.052610

En divisant 11288 par 4^92, la vitesse sera 2 m. 57

;; R ; tang. rumR, S. 44 ° ^ 9 f 9 * 9997^9

4392 b. = i 83 j. X ^4 L.

PROPOSITIONS PRÉLIMINAIRES POUR SERVIR D’INTRODUCTION AUX CALCULS D’ANGLE HORAIRE,

D’AZIMUT ET DE LONGITUDE.

146. Proposition l re . Le rayon du cercle étant l’unité, lecosinus d’un angle sphérique quelconque A d’un triangle ABCest égal au. cosinus du coté opposé moins [e produit des cosi-nus des côtés qui comprennent cet angle, la différence deces quantités étant divisée par le produit des sinus des côtésqui comprennent cet angle, (fig. 23).

Soit le triangle sphérique ABC; AI, BI, CI trois rayons dela sphère ; représentons les trois côtés par les lettres a, b, c ;«baissons du point B la perpendiculaire BE sur le plan du sec-teur AIC ; conduisons par son pied les droites ED, EG respec-tivement perpendiculaires aux rayons AI, CI ; par le point Dmenons DH perpendiculaire à CI, FE parallèle à Ci , et parconséquent perpendiculaire à DH; enfin joignons le point Baux points D et G.

Cela posé, la droite BE étant perpendiculaire au plan dusecteur AIC, les plans triangulaires BDE , BGE qui passent parcette droite BE seront aussi perpendiculaires au secteur AIC ;les trois triangles BDE, DFE, DIH sont tous les trois rectangles,l’un en E, l’autre eu F, et le dernier en H; l’hypothénuse BDdu premier est le sinns de l’arc a , DI est le cosinus ; BG estle sinns de l’arc c,lG son cosinus. L’angle rectiligne BDE, dontles côtés DE, BD sont perpendiculaires au rayon AI, est égalà l’angle sphérique A; mais dans le triangle rectiligne rectangle

BDE, on a la proportion du n° 1, R = 1 : cos. D: :BD : DE;mais à la place de BD on peut mettre sinus a ; à la place decosinus D, on peut mettre cosinus A, donc (n° 2) i;cüs. A; :sin. a ; DE; mais la valeur de DE est égale au produit desmoyens; donc (n° 3 ) DE = cos. AX sin. a.

Dans le triangle rectangle DFE, on a(n° 4)1 1 sin. D : :DE:EE ;mais l’angle D a pour complément l’angle IDH , et celui-ci estaussi complément de l’angle DIH ; puisque les angles FDE, DIH ont même complément, ils sont égaux : mais à la place de sinusFDE on peut mettre sinus DIH ou sinus b, et mettant pour DEsa valeur, sinus «Xcos. A, on aura 1 : sinus è: :sin. a Xcos.A : I'E = GH (voy. n° 5 ): en tirant la Valeur de GH, on aura(n° 6) GH=sin. ôXsin. «Xcos. A.

Enfin, dans le triangle DIH nous aurons (n° 7)1; cos. I : ; DI; 1 H, ou (n° 8) 1 : cos. h : : cos. a : IH ; donc (n° g) IH— cos,b X cos. a : en réunissant les égalités ( n os 6 et g ) on aural’équation du n° 10, IGr=sin. a X sin. b X cos. A -f- cos.a X cos. b— cos. c. En transposant cosinus a X cosinus b, nousaurons l’égalité du n” 11, sin. a X sin. b x cos. A—cos. e —cos. a X cos. b. Divisant toute l’équation par sin. a x sin. b ,

op aura l’équation (n° 12) cos.satisfait à la proposition énoncée (146).

- cos. a X Cos. b

sin. a X sin. b

qui

FORMULES DES PROPOSITIONS.

s.c—<os.a x cos.b

Cos. A —

sin.a X sin b

Pron I* e N es s 9 triang. (BDE) R = 1 ; cos. D : : BD : DE* " OU 1 : cos. A :: sin. a : DE

DE =r cos. A X sin. a

2 U

3 °

4 ° triang. (DEF)5 ° on

6° GH

1 ; sin. D : ; DE : FE1 : sin. b : : cos. A x sw. 9 : FEFE = cos, A X sin. a x sin. b