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NOTE Y 1.

Sur la Méthode d‘Approximation tirée des séries

récurrentes.

i. Reprenons l’équation

x m — Ax m ~' + Bar” -3 — Cr m_s -j- etc. =? o,

dont on a désigné les racines par a, /3, y, etc.; on aura (Note II), parla nature de ces racines, l’équation identique

x m — Ax m ~' + Bx m_1 — C x m—3 + etc.

— (x — a) (x — jS) (x — y) (x — J') -,

laquelle doit avoir lieu, quelle que soit la valeur de x.

L’identité de l’équation subsistera donc encore en mettant x-f-iau lieu de x, quelles que soient les valeurs de x et i; donc aussisi après la substitution, on développe suivant les puissances de t, lestermes affectés de i % , etc,, fourniront d’autres équations identiques ; ceseront les équations que nous avons appelées dérivées , dans la Théoriedes Fonctions.

La première de ces équations dérivées sera

ma :" -1 — (m — i) Ax m ~ li -f- (m — ai B.x - m ~ 3 — etc.

= (x— /3) (x — >).... + (x — a) (x — y). .. .

(x — a) (x — $).... -f- etc.

Divisons cette équation par l’équation identique ci-dessus, onaura

m.3 g”— 1 — (m — o Ax m —“ -+• (m — 2 ) — etc.

x m — Ai m l -+■ Bx m—a — Cx m ~ :1 + etc.

x — x -f- y

etc.,

équation qui doit aussi être identique, quelle que soit la valeur de x.