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NOTE XI.

Sur les formules d’approximation pour les racines des

équations.

Nou s avons vu, dans la Note Y, que la méthode de Newton consisteà substituer successivement dans une même fonction les résultats dessubstitutions précédentes ; ainsi l’on peut réduire en formule le résul-tat général de ces substitutions.

i. Soit F^ = o l’équation proposée, et a la première valeur ap-prochée d’une des racines de cette équation. Suivant la méthodedont il s’agit, on substitue a -f- p à la place de x , et l’on rejettedans le développement tous les termes où p monte au-dessus de lapremière dimension.

Par le développement connu des fonctions, l’équation Fx = odevient

Fa -j- pY'a -f- — F "a -4- etc. = o,

F a

et Se réduit d’abord à Fa -\~pYa = o, d’où l’on tire p = —

p a

Ainsi a étant une première approximation, si l’on fait b = — ,

on aura a-{-b pour seconde approximation, et celle-ci donnera delàmême manière, en faisant c = — F'(a jï ’ p j > troisième approxima-tion a -f- b -f- c , et ainsi de suite ; de sorte que la valeur de x seraexprimée par la série a -f- b -f- c -}- d >+- etc.

Or, je remarque que si b est une quantité très petite, la valeur

de F (a -{- b) sera très petite de l’ordre de b* • car le développement

b* F et

de F (a + b) donne Fa -f- bV'a -f- — F r 'a -f- etc. ; mais b = —