als negativ voraussetzen, einerlei Zeichen besitzt, also hierebenfalls negativ ist, und diesem sonach unmittelbar einpositives Glied vorausgeht; so erhält man, wenn X' mit demBinom x —to, wo « positiv seyn soll, multiplicirt wird:

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so, dafs dieses Product die Form hat:

x'H -'... — A p xP+ l .. . -j- A" xi-V '... — A' u x u +‘. . . -f- /rot.

Obschon nun in diesem Producte die Zeichen der Zwi-schenglieder unbekannt sind, so ist doch so viel gewifs,dafs vom 1. Glied x m +‘ bis zu jenem A p xP+' wenigstensein, bis zu jenem A xrY x wenigstens zwei u. s. w., alsobis zu jenem A u x u +‘ wenigstens eben so viele Zeichen-wechsel , wie im ursprünglichen Polynom X' von x m biszu dem nämlichen oder correspondirenden Gliede A u x u Stattfinden. Da aber von da an in X' kein Zeichenwechsel mehr,dagegen im Producte wenigstens noch ein solcher (durchdas letzte Glied -(- /tco begründet) vorkommt; so besitztdas Product X'(x — w) wenigstens einen Zeichenwechselmehr, als X' *).

Stellt nun X' das Product aller einfachen Factorendar, welche aus den negativen und imaginären Wurzeln un-serer Gleich. X =. o entspringen (also X'= 1 ist, wennkeine solche W. vorhanden sind), und bezeichnen to,,u> 2 , . . . die positiven Wurzeln derselben; so hat manX=:X’(x —cj,)(a:—co 2 )..., und es gibt sonach in X'(x —co,)wenigstens einen, in X'(x —co,)(a;—co,,) wenigstens zweiu. s. w. Zeichenwechsel mehr, als in X'. Selbst also, wennin X' gar kein Zeichenwechsel vorkommt, besitzt das Po-lynom X dennoch wenigstens eben so viele Zeichenwech-

*) Der Beweis ist der nämliche, wenn man das letzte GliedAm, also auch damit A u x u positiv, mithin-das diesem Gliedevorausgehende als negativ annimmt.