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*C‘ X~*

2. Setzt man , um die K. v = z 4- 1 -- 1 - . .

1.2 1 . 2.3 1

umzukchren, wieder z = t ,y + t 2 y- 4. f.,/ 3 4. . ., entwickeltwie im vorigen Beispiele die Potenzen von x und substituirt dieentstellenden Wcrthe durch y ausgedrückt in die gegeb. Reihe;so erhält man , wenn wieder nach y geordnet und der mehr er-wähnte Satz der unbest. Coeffic. angewendet wird, die Relationen :

fl=,; f - + 771 T f; = °’ a,so f "- = -T 5 ts + 6f 2 + ^t?^o,daraus t s = j; t 4 4 f t t 3 + 71’ 4- 7 (; t 2 4-—— tf = o , daraus

2 . 0 . 4 }

f 4 =: — j u. s. w., demnach für die umgekehrte Reihe:x = y — jy- 4- iy 3 — T/ 4 + • •

3 . Laufen die Exponenten von x in der gegebenen R. nachden ungeraden Zahlen fort, so beobachten die Exponenten vony in der umgekehrten R. wieder dasselbe Gesetz. Um daher

dio R. y = x - -4 ---- —

, 2.3 2. 3 .4 * 5

umzukehren, setze

man x — t t y + t„y* 4. t 5 y 5 4- .. (nimmt man auch die Glieder]>y-, 9J 4 ) • • mit in die Reihe auf, so findet man zuletzt p = o,(j—o, . .), entwickle damit z 3 , z 3 , . . und substituire die iny ausgedriiekten Wcrthe dieser ungeraden Potenzen in der gc-gcb. R.; so erhält man, nachdem Alles nach y geordnet wor-den , aus den durch Vergleichung der gleichnamigen Coeffic.entstehenden Gleichungen: t, = 1 , t 2 = -j, f s = -^, f 4 = 777 u.s. w., mithin für die umgekehrte R. selbst:

x z= y +

+

• 3rf

r; *

. 3 . 5 /*

+

2.3 ' 2.4.5 1 2.4•6 • 7

4 . Eben so erhält man durch Umkehrung der Reihez 3 2z 5 . 17z 7 . 62z 9

' = X + T+ 3:5 + 3 .. 5. 7 .3

+ Z

-J- ..

3 . ö . 7.9 .3

folgende sehr einfache Reihe :

x = J ~ TJ 5 + T / 5 — + • •

Anmerk. Sind allgemein m , m-\-n, m-\-2n, m 4- 3 n, . .

die Exponenten von z in der gegebenen Reihe, so sind

1 i-fu 14-211 > + 3n ,. „ . ,

— , -, --, - etc. die aut einander folgenden

1« m m ’ m ö

Exponenten der umgekehrten Reihe [I., 271].

Wäre die H. / zr. A ßz 4 .. umzukehren , so müfstc

man zuerst A transferiren, d. i. y — A = z gesetzt, die

Reihe s = Iix 4- Cz^-j- • • umkehren.