Siebentes- Capitel.

Uber die Umkehrung der Reihen.

§. 266. Erklär. Eine Reihe

y = Ax-\-Bx 2 -\- Cx 3 -f- .

in welcher alsoj^ als Function von x erscheint, umkehren,heilst x als Function von y, und zwar wieder durch einenach steigenden Potenzen von y fortschreitende Reihe dar-stellen.

§■ 267. Um nun die Reihe

i) y = Ax -j- Bx 2 -J- Cx 3 . .,wobei A, B , C , . . von x unabhängige Coefficienten sind,umzukehren, nehme man für x die unbestimmte Reihex — bjr + “f- hy 3 + • • an, bilde daraus die in i)

vorkommenden Potenzen von x , und substituire die da-durch für x, x 2 , x 3 , . . entstehenden Reihen in i); so er-hält man, Alles nachjr geordnet, nach dem Satze der un-bestimmten Coefficienten die zur Restimmung von t,, t 2 ,t 3 , . . nöthigen Gleichungen.

i. Um z. B. die Beilie y = x -j- x- -p x 3 -J- x* -f- . . umzu-keliren, setze man x = t t y -)- t 2 y 2 4* CtT 5 + • •> so wird(§§. 11 4 etc.) = t\y* + ittUy 3 + (2t, t 3 + tDj 4 + • •»x 3 = -J- 3t; t 2 y* + . . , .z 4 = f‘y 4 + . . u. s. w., also,

wenn man diese Werthe für x, x 2 , . . in der gegebenen R.substituirt und nach y ordnet:

y = Uy + (b + Oj 2 + (fs + üfiC + R)^ 5

+ (t 4 + b + R + 3tl b + 6) J 4 + • • •

Aus dieser Gleich, folgt aber : f, = i ; f 2 -f- t; =:o, also f 2 = — > 5f 3 + 2 fif 2 + t? = o, also f 3 =i; f 4 + 2f, t 3 +t;+3t;t 2 +tl=o,also f 4 = — l u. s, w. Die gesuchte oder umgekehrte R. ist so-nach : x = y — j2 + j3 — (Und in der That, die für

x

y gegebene R. ist eine recurrirendc, wofür §. i5<) y = r

die erzeugende Funct. ist; da nun daraus x

—■— folgt, so*+/

ist, diesen letztem Bruch nach §. 2S5 in eine rccur. R. aufge-löst, wieder x = y — y- -f-y 3 —-j-..)