15Ö

andere, von dieser Summirung unabhängige Kennzeichenaufzustellen trachten. Die Betrachtungen der folgendensollen uns zu solchen verhelfen.

§. 270 Es seyen a,, a 2 , . . a n . , die Glieder ei-ner unendlichen Keihe, die wir vorläufig als positiv vor-aussetzen, und S n ihre Summe; so kann man setzen:

= -j- «2 -f- «3 -f* . • -J- a n -J- E n ,

wo E n = o-n-^-i -f- U/i-j-j -(- . . ins Unendl. die Ergänzungder Reihe für den Zeiger n bezeichnet. Diefs vorausge-setzt, wird die Reihe offenbar convergiren, wenn bei derunendlichen Zunahme von n , E a unendlich abnimmt, undfür n = oo vollends verschwindet; im entgegengesetztenFalle aber divergiren.

§• 271. Besitzt eine unendl. Reihe durchaus gleicheGlieder a, so ist ihre Summe na für n — oo, wenn auch aeine noch so kleine endliche Gröfse wäre, Unendlich, alsodie Reihe seihst divergent. Da dieses für Reihen mitwachsenden Gliedern noch in einem höhern Grade der Fallist, so können wir unsere Untersuchung offenbar auf Rei-hen mit abnehmenden Gliedern, d. i. auf fallende Rei-hen beschränken.

§• 272. Sind aber von irgend einer Stelle angefan-gen — , —, --3 auf einander folgende Glieder einer

tn u

fallenden R., also t n < f B +i < G-(-a und überhaupt umso gröfser, je gröfser n ist; so hat man ——, für 2

auf einander folgende Quotienten, welche entstehen, wennman in der Reihe jedes folgende Glied durch sein unmittel-bar vorhergehendes dividirt, und f "+* ~ fn +* , f ür j; e j);f_

tTZ—|— i

ferenz dieser beiden Quotienten. Man sieht aber leicht,dafs diese Differenz bei der beständigen Zunahme von nfortwährend abnimmt und für n = oo vollends verschwin-det, weil bei dieser Zunahme von n der Nenner dieses ßru-