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dere und stärker convergirende Reihen herleiten. So wird z. B.

für 20 .-j-Z> = 45° und tanga — j-, wofür man taug b = j

Für + b — 45° und tanga — 7 , wozu tangb = — 775

erhält man

gefunden wird,

\i . 5 3.53

[I-, 33 7 , ff.]

239 3.329 :

Moivre’ sehe Formel.

§. BOG. Aus den Gleichungen 1 ) und 2 ), 3oo,

folgt, fortwährend ^— 1 =i gesetzt:

ü) cosx + i sitix = ei‘*.

F.ben so ist auch cosj + isiny — e+‘>, mithin, wennman diese beiden Gleich, mit einander multiplicirt:b ) (cos x + i sin x)(cosj + i sin j) = cos (a—)-jr) + ‘ sin

Setzt man in a) x + im statt x , wo r jede ganzepositive Zahl bezeichnen soll; so erhält man wegencos (x + 2rir) = cosx und sin (x + 2r;r) = sinx,

sofort: cosx + isinx — e i 2 (■* i ', un d wenn dieseGleich, zur n. Potenz erhoben wird, wo n jeden Werthhaben bann: ( cosx + i sin x) n = e i n ‘ i 2r7: ) , und end-lich mit Berücksichtigung der Gleich, a), wenn man in der-selben n(x + 2 r?r) statt x setzt:

1) (cosx + i sinx )' 1 = cosn(x + ir-x) + i sinn(x + arsr),welche Formel unter dem Namen der M o i o r e' sehen be-kannt ist*).

§• 307 . Ist in dieser Formel 1 ) n eine ganze Zahl,so erhält man für die Entwickelung (da cos und sin n (x ± 2 rar)= cos und sinnx vvird), wie es seyn soll, nur einen

Werth. Ist dagegen n— — ein zur kleinsten Benennung

') Eigentlich verstand man darunter, seihst bis auf die neueste

Zeit, die speciellere : (cos x + i sin x )« — cos nx + i sin nx,welche aber nur für ganze Zahlen von n giltig ist.