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Reihen zur Berechnung der L udolphischen

Zahl jr,

§. 803. Setzt man in der vorigen Reihe 8 )

x

so erhält man, wegen tangx = lang l\5 azuerst von Leibnitz aufgestellte Reihe:

+ T-T + •

sofort die

welche jedoch wegen ihrer zu geringen Convergenz zur Be-rechnung selbst nicht brauchbar ist.

§• 804. Dagegen erhält man für x sa 3o° = — aus

der genannten Reihe, wegen lang 3o°=——die schon

yd

besser convergirende R.

■K 1

6 Vi

3.3 V3 1 5.3V3

oder

' = s V / 3 ('-ä^ + Ö:-^ + -">

S* 305. Setzt man a b = 45% so wird ($. 22 )

tanga-tangb

tang(a-\-b) =

1 — tang a tangb

und aus dieser letztem Gleichung für tanga = 7 , sofortlang b = -f. Nun ist aber wieder nach der Reihe 8 ), we-gen tanga = \\ a = { — —-—und wegen langb = \i

b = ~ ~—-—1-.... mithin wenn man diese beiden Reihert

3 3 . 3 5 ‘

addirt, wegen a -f- b

~, sofort:

3.3»

5.3 S

Nach dieser von Euletr herrührenden , zur wirklichen Rech-nung äufserst bequemen Reihe findet man für die ersten 16 De-cimalstellen : jt= 3 , i4iS92653589793i.

An merk. Gestützt auf das hier angewandte Verfahren, denBogen von 45 ° in 2 oder mehrere andere zu zerlegen, derenTangenten passende Werthe haben, lassen sich noch viele an-

Burg’* Compendium d, höh^ Math,- j 2