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§. 308 . Für x = o und x = jt erhält man aus derGleichung 1), § 3 o 6 , beziehungsweise:

2) (H~ •)" = coszrnit + isinarnx,

3 ) (—1)” = cos (2r-f-1) n jt + i sin (ar-{- 1) n jt,und es gilt auch von diesen beiden Formeln das eben An-geführte. Man erhält nämlich, sowohl für (-(- i) n als für(—i)", nur einen Werth, wenn n eine ganze Zahl,

g

dagegen m Werthe, wenn n=- ist, und zwar dadurch,

dafs man nach und nach r = o, 1, 2,,..— oder ——-

2 2

setzt, je nachdem m gerad oder ungerad ist.

§• 309 . Setzt man in der Eelat. b ), §. 3 o 6 , nx stattx und j = + 2 riut, so erhält man( cos nx + i sin nx) (cos Qrnjt + i sin 2r n jt)

= cosn(x + 2rjt) + i sinn (x + 2 rjt),nämlich dasselbe Resultat, wie in der Formel 1), 3 o 6 ,

so, dafs sich also diese letztere, mit Rücksicht auf dievorige Gleich. 2), auch so darstellen läfst:

4) (cosx + i sin x) n = (-[- i)"(cos7t;r + i sinnx).

Aus dieser letztem Formel folgt auch noch für x = jt:

5 ) (— \) n = (-{- i) n (cos njt + i sinn 7 t), <

und man erhält sonach aus diesen beiden Formeln, wenn

- ist, die Tn verschiedenen Werthe, indem man denm

Werth von cosnx + i sinnx und cosntt + isinnjt nach

und nach mit den m verschiedenen [aus 2) zu findenden]

#

Werthen von multiplicirt.

Für x~~ erhält man noch aus 4):

2 '

6) (+ i) n = (- 1 - 1 ) n (cos — Jt + i sin — jt

V * — 2.

wofür dieselbe Eemerkung gilt.

S

An merk. Versteht man unter wie bisher, die sämmt-

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liclicn m "Wcrlhc oder Wurzeln von i m , dagegen unter