r

Fig. 3i.

gleich auch der Beriihrungspunct sey; er kann vielmehr ir-gendwo aufserhalb der Curve liegen. Auch kann sich dieSccante mit sich selbst parallel fortbewegen (oder der Dre-hungspunct unendl. weit liegen), um zur Tangente zu wer-den. So folgt z. B. aus der in §.4o5, Beisp. i , behandel-ten Gleich, y 2 =s 3x oder y = + V 3x, dafs jede mit der Or-dinatcnaxe Y Y' (Fig. 32) parallele, gegen die positiven x zuliegende Gerade, die Curve in 2 Puncten schneidet, alsoeine Secante sey. Bewegt sich aber diese Secante, stets mitYY' parallel bleibend, gegen diese Axe, wodurch x fort-während abnimmt; so rücken die betreffenden Durchschnitts-puncte M"N" einander immer näher, und fallen endlich fürx — o, wofür ^= + 0 wird und die Secante auf die AxeYY' fallt, im Ursprünge A zusammen, und es wird alsodiese Secante zur Tangente YY' im P.uncte A.

§.423- Ist F(x,'y) — o die Gleichung der Curve,y — ax -J- b die der Secante (beide auf dieselben Coordi-natenaxen bezogen); so findet man die Durchschnitts-puncte dieser Geraden mit der Curve, indem man--diesebeiden Gleich, mit einander verbindet und daraus die Werthevon x und y bestimmt. Drückt man ferner die Bedingungaus, dafs diese Durchschnittspuncte in einen , und zwarmit dem Berührungspunct zusammenfallen sollen; so hatman die Bedingungsgleichung für die Tangente selbst. Da-bei kann noch verlangt werden, dafs die Tangente durcheinen aufserhalb oder in der Curve selbst liegenden Punctgehen soll. Wir wollen dieses zunächst auf den Kreis an-wenden.

§• 424. Um die Bedingung aufzufinden, unter wel-cher eine durch einen gegebenen Punct gehende Secantedes Kreises zur Tangente wird, beziehen wir den Kreis aufrechtw. Coordinatenaxen, die sich im Mittelpuncte dessel-ben schneiden, und dessen Gleich, also ist: 1 ) x 1 -\-y 2 = r i .Bezeichnen wir ferner die Coordin. des gegebenen Punctesdurch x , y ; so ist die Gleich, der Secante (§. 387 ) 2 ) y—y= a (x — x'). Zur Verbindung dieser beiden Gleich., umdie Coord. der Durchschnittspuncte zu erhalten, folgt aus 2 ),wenn man auch gleich quadrirt: