gewöhnlich schon jedem dieser beiden Zweige für sich dieseBenennung beizulegen, und nennt in dieser Beziehung diebeiden Zweige entgegengesetzte Hyperbeln.

§. 463 - Um für die Hyperbel eine einfache Gleichungzu finden, nehmen wir wieder die beiden Geraden XX',YY', welche sich in C rechtwinkelig schneiden , und ge-gen welche, wie die vorige Construction gezeigt, die Puncteder Curve symmetrisch liegen, als Coordinatenaxen; setzenFF = 2c, also CF = CF'zzz c, und bezeichnen die Coor-din. irgend eines Punctes M der Curve durch x, y, so wieendlich die Leitstrahlen FM, F'M durch u und u. Diefsvorausgesetzt, gelten für den Punct M, als Durchschnitts-punct zweier Kreise, deren Halbmesser u, u und Mittel-puncte F, F' sind, die Gleichungen (§. 394) 1) (x — c ) 2~j~y 2 = u 1 und 2) (x-\-cy -j- y- = u z , so wie auch nochaus der Natur der Curve die folgende 3 ) u'—w = za. —Die Elimination von u, u aus diesen 3 Gleichungen führtzur gesuchten Gleich, zwischen x und y. Werden zu die-sem Ende die Gleichungen 1) und 2) addirt und subtrahirt,so erhält man 4) 2(a ? 2 -\~y z -j- c 2 ) = u ' 2 -j- 1 / 2 und 4 cx = u %— u 2 = («'-{- «)(«'— u), oder, mit Rücksicht auf Gleich. 3 ):

%c SC

4 cx = %a{u u), woraus u -j- u =-, also mit Rück-

C SV

sicht auf die Differenz 3 ), sofort 5 ) u = — -j- a undu — —- a folgt. Diese Werthe von u und u in 4) sub-

stituirt, geben a 1 y z -|- (a 2 — c z )x z = a" (a? — c 2 ), oder,wenn man, da (Anmerk., 5.4h 1 ) C F C A, d. i. c j> aseyn mufs, also d 1 — c 2 < o oder wesentlich negativ ist,a 2 — c 2 = — 6 2 oder m) c 2 — a z z=b z setzt, auch:

H. a 2 y % — b z x 1 = — a 2 6 2 ,welches sofort die gesuchte Gleichung der Hyper-bel ist.

§. 464 . Für ein dem vorigen paralleles Coordinaten-system, auf welches bezogen p, q die rechtwinkel. Coor-dinaten des vorigen Anfangspunctes C sind, hat man: