306

zu zeigen , dafs sicli diese allgemeine Gleich. 1 ) durch passendeTransformationen immer auf eine der beiden folgenden : My 2 -Nx 1 — P und y 1 = Qx, von denen (§§>454, 4^3 , 47 2 ) dieerstere einer Ellipse oder Hyperbel und die letztere einer Para-bel angehört, reduciren lasse : dafs also diese 3 Curven mit Ein-schlufs ihrer Varietäten den Inbegriff der Linien der zweitenOrdnung ausmachen.

Vereinfachung der vorigen Gleich, i) durchTransformation der Coordinaten,

§• 484. Man hann immerhin annehmen, dafs sichdie Curve oder Gleichung i) auf rechtwinkelige Coor-dinaten bezieht [indem beim Übergänge von schiefwinkeli-gen auf rechtwinkelige Coordinaten die Form dieser Glei-chung i) die nämliche bleibt], und diese, um das Gliedin xy hinauszusehaffen, für ein neues rechtwinkeligesAxensystem, welches den nämlichen Ursprung besitzt,transformiren. Dazu darf man nur in dieser Gleich, i) fürx und y die Werthe aus §. 44 1 ) d. i. x cos a—ysina undx sin a -J- y cos a , wobei für unsern Zweck a eine will-kürliche, noch unbestimmte Gröfse ist (vergleiche438 ) , substituiren, wodurch man, wenn Kürze halberA cos cP — B sina cos a -j- C sin rP = M,

A sin cP -)- B sin a cos a -j- C cos a z => fV ,

2 Ä sina cosa — B sin cP -|- B cos cP —. 2C sin a cos a = L,

D cos a — E sin a == R und D sin a -]- E cos a = S

gesetzt wird, die Gleichung erhält:

My'- -J- Lxy -(- JY.r 2 -J- Ry -J- Sx -j- F — o.

Um nun daraus das Glied in xy w 7 egzuschaffen , darfman blofs die unbestimmte Gröfse a aus der Bedingungs-gleich. L — o bestimmen. Diese Gleich, ist aber, wennman substituirt und berücksichtiget, dafs 2sinacosa = sin2.a.und cos a 2 —sin cP = cos 2 a ist: ( A — C) sin 2 a -|- B cos 2a= o,

und daraus folgt: n) tang 2 a==

B

A—C'

Da aber die Tangente jeden reellen posit. oder negat.Werth von Null bis Unendlich annehmen kann, so gibt es,