566

so erhält man wegen W. (i\ 2')= W. (1.2) für den gesuch-ten Nei g un g s wi n k e 1 der beiden Geraden 1) und 2) :

I. cos. (1.2)

1 -f- a a-\- b b'

V (1 + + b 2 )(i 4- a 1 -J- b'~)

Folgerungen,

§. 570 . 1) Laufen die beiden Geraden mit einander

parallel, so ist wegen W. (1.2) = o sofort cos (1 . 2) = 1,und es folgt aus der vorigen Formel I., wenn man quadrirtund den Nenner wegschafft: (1 -j- ä 2 -j-Z> 2 )(i a*

= (1 + aa-f b b'y , oder wenn man entwickelt und redu-cirt: (a — a ) 2 -)- (b — b'y -f- {ab' — a'by = o als Bedin-gungsgleich. Da aber diese Gleich, nicht anders bestehenkann, als indem die einzelnen Quadrate für sich Null sind;so hat man a — a'=o, b — b'= o und ab'—db = o, vonwelchen Relationen jedoch die dritte nur eine Folge derbeiden erstem ist; es ist also ä—a, b'—b die Bedingung,unter welcher die beiden Geraden 1) und 2) untereinanderparallel sind. (Yergl. §. 567.)

§. 571 . 2) Stehen die beiden Geraden auf einanderperpendiculär, so wird wegen W. (1.2) = 90° sofortcos (1.2) =so, und man erhält aus I. als Bedingungsgleich, i* n) 1 -j- a a! -J- b b' = o.

g. 572 . 3 ) Berücksichtiget man, dafs x — cos (1 . x),Fig. 76. y= cos (1 .y) , z'=cos{i.z ) [ist nämlich Fig. 76 Mm aufder Eb. der xy und in dieser mP auf AX perpendic., sosteht auch MP auf AX senkrecht, und es folgt aus demrechtw. Dreieck AMP ; AP = AM cosMAP, oder wegenAP = x und AM=i auch x'= cos (1. x ); so auch für dieübrigen], und eben so x"=cos (2 . x ), y"=.cos (2 .y) und2"=: cos (2. z), wobei wieder (i.af) den Winkel der Gera-den 1) mit der Axe der x, (2 ,x) jenen der Geraden 2) mitdieser Axe u. s. w. bezeichnet; so ei’hält man auch aus derobigen Relat. a ) [§. 569] :

p) cos{ 1.2) = cos(i .#) cos(a.;r) -J- cos (1 .y) cos (2 . y)

-j- cos (i . z) cos (2 .z),