Aüflös. Seyen x‘, y', z die Coordin. des gegeb.Punctes und 1) \x~az- J-a, y = bz- |-ß] die Gleich, dergegeb. Geraden. Die gesuchte Gleich, der Ebene hat dieForm 2) Ax -j- By C z -j- D = o, und man hat daraus,vermöge der 1. Bedingung: 2') Ax-\- By'-\- Cz’-\-D = o;es ist also auch, wenn man abzieht: 3 ) A(x — x’)-\-B(y — y)-J-C(s—z') = o die Gleich einer durch den Punctx% y, z gehenden Ebene. — Um ferner die noch un-bestimmten Coeffic. A, B, C der 2. Bedingung gemäfs zubestimmen, wird man blofs ausdrücken dürfen, dafs dieGerade 1) gänzlich in der Ebene 2) oder 3 ) liege, und diefsgeschieht, indem man bemerkt, dafs die Coordin. x, y t zaller Puncte der Geraden die Gleich, der Ebene befriedi-gen müssen. Setzt man daher die Werlhe von x, y ausden Gleichungen 1) in 2); so erhält man (Aa -(- Bß -j- D)-J- ( Aa-{-Bb-\-C)z = o , und da diese Gleich, für jedenWerth von z gelten soll, so hat man nach dem Satze derunbestimmten Coefficienten : 4) A a -)- Bß -j- D = o und5 ) Aa~\-Bb-\-Czz=o, welche beiden Gleichungen so*nach die Beding, ausdrücken, dafs die Gerade 1) gänzlichin der Ebene 2) liegt. —- Wird die Gleich. 4) von jener 2')subtrahirt, so erhält man 6 ) A(x — a)-\-B(y — ß) Cz'= o,eine Gleich., welche D nicht mehr enthält und die vorige

4 ) ersetzen kann. Um endlich noch aus den beiden Gleich,

AB.

5 ) und 6) die Coeffic. -7, — zu bestimmen, hat man, diese

c c

indefs durch v und w bezeichnet: av -j- bw -f- 1 =0,(x — a)p (y' — ß)w z'= o, und daraus durch Elimi-nation:

, = ± ? + — undC a(y — ß) — b(x- —-et)

B — (ct + az — x)

w — — — -- ' ---,

C a(y — ß) — b(x — a)

so, dafs man also hat: A=:ß-\-bz' — y , B = — (a-f -az — x')und C=a{y — ß) — b(x — a) , wodurch endlich die Glei-chung 3 ) der gesuchten Ebene völlig bestimmt istj

Zusatz. Liegt der gegeb. Punct in der gegebenen Gera-*den, so folgt auch aus der Gleich. 1): .r = az'-f-, a, y'zs bz'-j- ß,ComjH*iidiuin d. höh. Math. 2 1 \