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Erstes Capitel.

Vom DiiFerentiiren der Functionen einer Variablen.

Einleitung.

§. 614. -Aus dem 6 ton , Q* en und io ten Capitel erheblet, dafs alle bisher bekannten Functionen in Reihen vonder Form A -J- Bx -f- Ca. 2 -]-... aufgelöst werden kön-nen. Setzen wir jedoch noch allgemeiner für jede alge-braische oder transcendente Function f(x ) = Ax a -\- Bx$Cx~i -so folgt daraus, wenn Ax eine beliebigeZunahme oder überhaupt Änderung von x bedeutet:

f(x -J- Ax) A (x -{- Ax) a -|- B (* -j- Ax)$ -j- C (x -j- Ax)*t -J-.,.

= A'-\- B' Ax -|- C'Ax z -j- . . . ,wenn man nämlich entwickelt und die Coefficienten voni\x 0 , Ax 1 , Aa: 2 , . . . durch A', B', C' u. s. w. bezeichnet.Da aber, wie aus dieser Entwickelung hervorgeht,

A' = Ax a -|- Bx$ -{- Cx~t -)-••• — fix) ist;so hat man auch : m) f(x-\- Ax) z=f(x) -\-p Ax -{- q Ax 1 -{-•..,wobei p, q, , . , gewisse Functionen von x sind.

Anmerk. Setzt man , dafs, wenn r in x-^-i übergeht, f(x)in A pi qi 1 aufgelöst werden könne, wobei

die Möglichkeit einer solchen Entwickelung gar nicht imVoraus erwiesen zu werden braucht; so hat man sogleich(wenn man i=o setzt) A=zf(x), also i)f(x -j- i) =f(x)-\-pi-\-qi' L -\-..., wo p, q , . . . kein i mehr enthaltensollen, also nur noch gewisse Functionen von x sind. Läfstman die ganz willkürliche Gröfse i in i-\-k übergehen, soerhält man aus 1):

f \ x + <■ + k) = f (x) -{- p (i-\-k) -f- q (i -}- k) z -j- . . .,oder, wenn man nach dem Binomialtheorem überall die bei-