den ersten Glieder, die liier hinreiclien , entwickelt:

*) /■(*+* + *) = f{x) + (pi + pk)

+ (< 7 l2 + ^qik • • •) + • • ■Lälst man dagegen in i) x in x -j- k übergehen, und be-merkt, dafs, so wie, wenn x in x-J-i übergeht, f (x)[wenn man p = f\x) setzt] in f (x) + f (x) über-

geht, auch eben so bei dem Übergange von x in x-J-Ä', so-fort /"(x) in f (x) -J- f'(x).k , p als Funct. von x,

in p -f- p'k q in q -[- qk u. s. f. übergehen; so hat

man auch:

/•(ar-j-Zc-J-i) =/(x) + f ’(x). k -j--f (p i +p'ik -|-)

+ {qi- + qt-k + . ..) -

Da aber diese Entwickelung der vorigen 2) für alle Wertlievon i und k gleich seyn mufs, so erhält man durch Ver-gleichung der zu einerlei Verbindung von i und k gehören-den Coefficienten: p—f'(x), iq — p 3 r= 9 'u. s, w. Heifstnun, nach Lagrange, fix) die erste abgeleiteteFunction von f (x), so folgt aus dem Gange dieser Entwicke-lung, dafs auch p die 1. abgeleitete Funct. von p, q jenevon q u. s. w. ist. Bezeichnet man dann noch mit ihm, die1. abgeleitete Funct. von fix) durch f(x) , jene von f'(x)durch f“\x ) u. s. w.; so hat man aus den letzten Relatio-nen ganz einfach:

V = /'(*). q=-v‘~ -J"^) 1 r=lq' =

2 2 O 2 • O

n. s. w., so , dafs man durch Substituirung dieser Wcrlhein der angenommenen Reihe 1), wodurch nun auch (« po-steriori) ihre Zuläfsigkeit constatirt ist, erhält:

«) /O + i) =

f{x) + f\x) . -i + /-(x) + /"'(*) . - 15 — -f . . . ,

> 1.2 1.2.0

in welcher Reihe man nun auch , um die obige in) zu er-halten , A x statt i setzen kann.

Erklärungen.

§. 615. 1 ) Die Differenz /(x-j-Ar) —/(x), wobei

Ax eine ganz willkürliche Änderung oder Differenz vonx darstellt, heifst Differenz der Function /(x) undwird durch A/(x) bezeichnet. Es folgt also aus m) des§. 614 : c) A/(x) =/(x4-Ax) —/(x) = pA.r-|- 7 Aa'* + ...,