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Wichtigkeit ist, und überhaupt die in der Function f{x)entstehende Änderung angibt, wenn die Variable x um diewillkürliche Gröfse j vermehrt oder (in welchem Falle indieser Reihe nur —y statt r zu setzen ist) vermindertwird.

§•617. Zusatz. Setzt man

f{x) = u, f(x-\-dx) = u und

.so hat man nach dieser Reihe:

, du , d- u , d> u

u — u =-^ ---- 5

1 1 1 <> * 1 O . Ä

J = dx-,

+ • • •

An merk. Die Ableitung dieser Reibe I) zeigt, dafs die fürdie Coefficienten A, B, C, ... gefundenen Wertlie we-sentlich von der Voraussetzung abhängen, dafs a=i, ß = 2u. s. w. sey; in allen jenen Fällen also, in welchen es nichtmöglich ist f (x -\-y) nach steigenden, ganzen, positi-ven Potenzen von y zu entwickeln (was übrigens niemalsfür allgemeine, sondern nur für besondere Wertbe vonx eintreten kann), w erden sich auch diese Coefficienten nichtso darstellen oder bestimmen lassen; sie erscheinen in die-sem Falle immer als unendliche Gröfsen, und weisen ebendadurch auf die Unmöglichkeit einer solchen Entwickelung(mit ganzen, posit. Exponenten von y) hin. [Fernere Ab-leit. dieser Reihe, so wie Eemerkungen in jenen Fällen, inwelchen sie nicht abbricht, III., 27 , fif.].

§•648. B eispiele über diese Reihe.

Um zu finden, was aus f(x)=:-ix - — 3.r wird, wenn man da-rin x in x a übergehen läfst, hat man nach der obigen

. df(x ) d z f(x)

Reihe I), wegen—--=4* — 3 und — - -"=4 (alle fol-

a sc dj oc^

genden Differentialquot. sind Null), sofort;

= ( 2 a ; 5 — dx) -f- (4* — 3) a -|- ia- 2 .

Daraus erhält man auch als Änderung der Function, d. i.

/(* + «) —/(•*) = (4^ —3)a + 2 a";

was man auch Alles auf gewöhnliche Art bestätigt findet.

2 . Um ferner auch wenigstens an einem Beispiele zu zeigen, wie

man die Taylor’sche Reihe zur Entwickelung der Functionen

•einer Variablen in Reihen benützen kann, sey f (a:) = «*, also

j {x y) — ; so folgt aus I), wegen