wobei die von y unabhängigen Coefficienten A , B, C,. ..offenbar gewisse Functionen von x sind, welciie wir so-fort, sammt den unbestimmt angenommenen Exponentena, ß, y, ... zn bestimmen haben. — Diffei'entiirt manbeide Theile dieser Gleich, nach x, d. h. siebt man dabeiy als constant an; so erhält man, wenn gleich durchausmit dx dividirt wird:

d J ( x +jA = d fi*\ 4_ <t£ r * I £1 r ß 4 - 1 ^ r y + ...

dx dx * d x * dx J d x J

Sieht man hingegen x als constant an, so erhält man,wenn gleich mit Ay dividirt wird:

dfiX d ^ y) - = Aay«~' + Bß y?-' + Cyyl-' + • • •

Zufolge der Relat. m) im vorigen Paragraphc bestehtalso die Gleichung

Af (x)

d x

d A a+ -cü?

+

Aay 0

+ Bßj?-' +

und damit die beiden Functionsreiben in Bezug auf dieganz unabhängige Variable y von einerlei Form erschei-nen, darf man nur setzen : a — 1=0, ß — 1 =a, y — i = ßu. s. w., woraus a=i, ß = 2, y = 3 u. s. w. folgt. Sub-slituirt man also diese Werthe in der vorigen Gleich,, sohat man nach dem Satze der unbest, Coeffic.:

df(x)d x

A,

dA

— = stB ,d x

dC

—— = 4 D etc,,d x

und daraus:

, df(x) d 2 f(x) _ d\f(x)

A = — B = — - -, C = — —z — u. s. w.

dx idxi.idx*

Werden daher endlich diese für die Coefficienten undExponenten gefundenen Werthe in der oben angenomme-nen Reihe substituirt, so erhält man nachstehende, nachihrem Erfinder Taylor benannte Reihe:

J) /(*-Kr) =

f / A | df(x) y d-f(x) y- d*f(x) y*

JK ' * dx i ' dxfl" i . a dx 2 i.a.3 '

welche in der ganzen höhern Analysis von der gröfsten