In diesem Ausdrucke heifsen zum Unterschiede vomTotal-Differential du, <lie beiden Glieder

C£) dx und

beziehungsw. die partiellen Differentiale von u nach xund nach jr,. so, dafs also das T o t al -Differential aus derSumme der partiellen Differentiale besteht; welcherSatz sich überhaupt auf Functionen von jeder beliebigenAnzahl von Variablen ausdehnen und erweisen läfst, so,dafs z. B. für u = f(x, y, z ) sofort

*'> da=i (jO dx + (ir) dz

ist, u. s. w. Hieraus folgt zugleich, dafs die Differentia-tion der Functionen m e h r e r e r Variablen (indem nachund nach nur immer Eine als variabl angesehen wird) aufjener der Functionen Einer Variablen beruht, oder auf diesezurückgeführt werden kann.

§. 658 . Beispiele hierüber.

/ du\ /d u \

1) Für u = xy ist dx = y dx und yjj-^Jdy=xdy,

also nach i) des vorigen §. du = ydx x dy.

/ du\ dx

\dx/

i) Für u = — ist { —— ) dx ■.

d x x dydemnach du =- ■— -—

y yl

■ und

y

y dx —. xdy

■ y

/d u\

G i?) d '=

■ xd y

3 ) Für u = xy- sin z folgtfdu\ fdu\

v ,"dx j dx — y 2 zdx, \jciy J d y = 2x y s * nzd y

\dys

/d u\

und I — J dz = xyt cos zdz,

mithin ist nach Relat. i ) des vorigen Paragrapbes :

du = y- sin z d x -J- a xy sin z dy -J- xy ' 1 cos zdz.Anmerk. Man sieht, dafs die im l. Capitol für das Diffcrcn-tiiren der Functionen Einer Variablen abgeleiteten Kegelnauch für Functionen zweier und mehrerer Variablengelten; denn man hat z. B., ohne auf partielle Differentialeüberzugehen, nach der für (§. 620) dXX' abgeleiteten Regelunmittelbar: dxy = x dy -f- ydx, wie vorhin im 1. Bei-spiele. Dasselbe gilt auch von allen übrigen Beispielen.

BurgV, Compendturn d. höh. Math. 27