§• 736 - nun wieder (analog mit §. 707) die Flä-che 1) vollkommen, dagegen jene 2) nur der Gattung nachgegeben, und bestimmt man die in der Gleich, der letztemFläche vorkommenden unbestimmten Constanten (derenz,(B. die Gleich, der Ebene drei besitzt) aus den genann-ten 2, oder 5 u. s. w. Bedingungsgleich., wodurch in derobigen Differenz 5 ) sofort beziehungsw. 2,5,9,.. ersteGlieder der Reihe verschwinden; so wird diese Fläche 2)mit jener 1) im Puncte x, y, z respective eine Berührungder i‘ Un , 2 ten , 3 ten , . . Ordnung eingehen.

Berührungsebene.

§• 737 . Nehmen wir als einfachsten Fall für dieF'läche 2) die Ebene, so ist ihre Gleich. (§. 55 1, Zus. 2.):m) z = A x -|- fly' -J- D. Zufolge der ersten Bedingungvon x'=x, y'—y , z'=z, nach welcher nämlich die Ebene[oder Fläche 2)] mit der Fläche x) denPunct x, y, z ge-mein haben soll, hat man n) z = Ax -|- By -|- D . Da fer-ner aus m) — A und ^ -j = B folgt, so hat man

nach den beiden darauf folgenden Bedingungsgleich. (//=/>,q'=q): A =z und % = wobei diese partiellen

Differentialquotienten aus der gegebenen Gleich, z •=zj'(x,y)der Fläche 1) abzuleiten sind. Mit diesen Werthen und derGleich, n) erhält man aus m) für die Ebene, welche dieF'läche 1) im Puncte x, y, z in der ersten Ordnung be-rührt, d. i. für die Berührungsebene die Glei-chung: I. * — s = (x'—x) -f (y'—y) i da-

bei sind x, y, z die allgemeinen, und x, y, z die Coor-dinaten des Berührungspunctes.

Beispiel. Wäre z, B. die gegebene Fläche 1) die Kugel,also (§.596) (.r— op + O"— ßP + G— y)-—r z ihre Gleich.,

fdz\ x — a /dz\ ,y—ß

so würde man daraus I -7— ) = —-, ( -7— I — —-

\dxj z — y \dy J z — \

— y \dy J z — y

und daher nach der vorigen Gleich. I. für die Gleich, der B e-r ii h r u n g s e b e 11 c an die Kugel:

(X— a)(x— X) + (y—ßXf—y) 4- ( z — y)(z — z ) = O

erhalten. [Vergl. §. 597 , ;«)].