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§• 752. Die ursprüngliche oder gesuchte Functionheifst auch in Beziehung auf ihr 2 t0S , 3 tes , . . . n tes DifTe-rential: das Integral der 2 tcn , 3 ten , . . . n ten Ord-nung; und es folgt aus der Entstehung der höhern Diffe-rentiale (§. 641), dafs man aus dem n tei1 Differentiale dieursprüngliche Function findet, indem man dasselbe n Malnach einander integrirt, oder dafs, wenn d ' 1 . f (a;) =f(x) dx' 1ist, wieder umgekehrt f (x) = J n f(x)dx n Statt findet.

§• 753- Der einfachste und leichteste Fall der In-tegralrechnung ist der, in welchem der Differentialquotient

blofs eine Function von x oder r, oder was dasselbe,

d x

wenn entweder dy = Xdx oder dx = Ydy ist; in die-sem Falle hat man es nämlich nur mit der Aufsuchung ei-ner Function von einer Variablen, oder mit der Bestim-mung des Integrals fXdx zu thun.

§• 754. Auf diesen einfachen Fall wird auch die In-tegration der Differentialgleich. Pdx -(- Q dy = o zurück-geführt, wenn entweder P und Q blofs Functionen von xoder_/, oder P eine Funct. von x und Q eine Funct. von y,oder umgekehrt ist; denn in diesen Fällen hat man bezie-p Q

hungsw.: dy == — -dx = Xdx , dx = — — dy — Ydy ,Pdx = — Qdy, d. i. Xdxz=zYdy und ^ , d.i.

wieder Xdx= Ydy, so, dafs es in allen diesen Fällennur auf die Integration des einfachen DifferentialausdruckesXdx oder Ydy ankommt.

§■ 755- Complicirter und schwieriger sind die Fälle,in welchen der genannte Quotient als Function von x undy erscheint, oder in welchen man die Differentialgleich.Pdx -j- Qdy= o, in w'elcher P und Q Functionen von xund y zugleich sind, zu integriren hat. — Kommen endlichvollends auch höhere Differentiale in den zu integriren-den Ausdrücken oder Differential formein vor; so erscheintdie Integralrechnung erst als eine Sammlung von Regeln