3) Es ist f(ax m -\-bx r ‘- — cxP)dx xz afx m dx bfx n dx — cfx p dx

ax m +' bx n +' «'+'

— -—;-1-;- 1 - C. (Dabei ist es offenbar

m -(- i n + i p i 1 v

hinreichend, eine einzige unbest. Constante C beizufügen.)

4) Auf gleiche Art erhält man für das irrationale Monom(welche Monome man gleich hier mit behandeln kann, indem

3 5 .

auch rt gebrochen seyn darf) fay/x* dx — afx* dx xx ax*xx \ a \Jx s -J- C.

5) Es ist ferner f dx (i — zx) z zzz f dx (i —4 x + 4^)

= fdx — 4 $x dx -J- 4 f x^-dx xx x — nxi -f- -j- C. Auf

dieselbe Art verfährt man, wenn n eine ganze, positive Zahlist, mit der Bestimmung des Integrals f Ix (a -j- bx -J- cx 2 -j- . ,) re(unter Anwendung des polynomischen Lehrsatzes §. 116 ).

6 ) Zur Bestimmung des Integrals fdx {a-\-b x) m setze man,m mag dabei was immer für einen Werth haben, a -f- b x = z ;

so wird b dx xx dz oder dx zx -^dz , also fdx(a + b x)”*

1 2"!+l

== £ fz”‘dz = Y " (j n ,y + C* oder, wenn man für z den Werth

(a bx)m+‘

in x wieder herstellt: fdx (a-\-bx) m xx —■£ —- — -j- C. (Bei

einiger Übung wird die Substitution entbehrlich.)

7 ) Auf dem nämlichen Wege der Substitution wird man, dieExponenten n und m mögen was immer für Werthe haben, dasIntegral fx n — 1 d x {a -j- b x n ) m bestimmen können; weil, vonden constanten Factorcn abgesehen, der Th eil aufser-lialb der Klammer das Differential von jeneminnerhalb der Klammer ist. Man setze nämlich wie-der a -J- b X” = z, so folgt daraus, wenn man differentiirt:

d z

und man hat

x n —> dx =

bn

1

fx n —‘ dx(a -j- b x n )™ = fz m d z

s'H-i

b n(m-\- i )

+ C

(a 4- b ar“)»*+i

-1 - C.

b n (m -j- i)

An merk. Man ist also im Stande, auf diesem Wege ganzallgemein das Integral fAX m dX, bei welchem dX dasDifferential der Gröfse Al unterm Exponenten m ist, zu be-stimmen.