§. 772 . Setzt man eben so in der Formel von 767

c -i- x statt x ; so geht a — bx % in a — b<P -— o.bcx — bx x ,

oder wenn man a — be 1 = a, — 2 öc=aß und — b = y

• . ß 4 a 7 — ß 1 i

setzt, wodurch b = —• v, c=—, a =---• , also

ab =|(ß J — 4' 1 )’) wird, wieder in a -|- ßx y x % üb$r,und es verwandelt sich die dortige Formel, wenn man gleichZähler und Nenner des unterm Logarithmenzeichen l ste-henden Bruches mit V —1 multiplicirt, in die folgende :

h

dx

■j-ßx-^-yx 2

- I

r Vß‘ — 4«y — (ß -f- 2yr)y/p- — 4 «7 k-\/ß ; — 4cty + (ß-\-iyx)

d X

] + 6 ’-

Anmerk. Um das Integrale

h

immer m einer

i + ßx + 7-r*

reellen Form zu erkalten, wird man sich also der vori-gen oder der gegenwärtigen Formel bedienen, je nachdem4 ay> oder <ß 2 ist. Für 4 a 7 — ß z kann jedoch, wie mansieht, keine von beiden angewendet werden j in diesem Falleist aber auch das gesuchte Integral algebraisch (alsounmöglich in einer der beiden genannten Formeln enthal-ten), und läfst sich nach der Kegel der Monome [§. 761, 7)]linden. Denn es ist bei dieser Voraussetzung: ß — 2 V ay,a-\-ßx-\-yx"zx {Va -J- x V7) 2 , und daherdx

f

a + ß x + y x2

= c —

(Va + x Vy) Vy

§• 773 . Setzt man a -|- ßx -|- yx* = X, so wirdl _j_ ß x -|- y x 2 ) = IX, und wenn man differentiirt:

ß + ayr , , J v . xdx

^ - dx = d.IXf also ——JC A

daher auch

xdx

— d.IX —

2y 2y

ß dx

und

f

±_l (a + ßx + 7 ^ ) ^lj'-

d x

a -}- ßx -j- yx* iy ' 11 1 ‘ ' 27 J a-^-ßX-j- yx*

in welcher Formel das letzte Integral in den beiden vorher-gehenden Paragraphen bestimmt ist.

Anrncr k. Man kann also nun überhaupt Differentialausdrückc(J -(- H .r) d x

von der Form

a -j- b x -J- c x

- auf diese Weise integriren.