Quadratur der Curven.

§•859. Erklär, Eine ebene, auf Parallelcoordi-naten bezogene Curve quadriren heifst im Allgemeinen : dieFläche bestimmen, welche zwischen einem beliebigen Bo-gen der Curve, den Ordinaten seiner Endpuncte und derzugehörigen Abscisse liegt. Am gewöhnlichsten jedoch wirddie Fläche vom Scheitel der Curve (wenn ein solcher vor-handen ist) an gerechnet.

§• 860. Da wir in §. 697 bei Voraussetzung recht-winkeliger Coordinaten für das Element oder Differentialder Fläche dz =zydx gefunden haben; so reducirt sich,wenn y=:<j>(x) = X die Gleich, der Curve ist, das Problemder Quadratur auf die Bestimmung des Integrals J'X dx.

§. 861. Beispiele hierüber.

1) Für die Familie der Parabeln, welche in der Gleich.

» 1 m

yn —s p x m begriffen ist, folgt, wegen y = p n x n = X, sofort

i m 1 m -j- n

z — p n (x n dx = .- p 71 x n 4- C.

m q- n.

Dabei mufs die Constante C weggelassen werden, d. h. sie wirdNull, wenn man die Fläche z vom Ursprung der Coordin. odervom Scheitel rechnet, weil für .r = o auch y und z — o ist. —Man sieht, dafs alle diese Curven quadrirbar sind.

a) Für die gemeine Parabel erhält man , wegen m = 1und 71=2, aus dem vorigen Integralausdrucke für die vomFig. 54. Scheitel A bis zu einer beliebigen Ordinate PM — y (Fig. 54)gezählten Fläche:

2 =^, 0 ’ x 1 = | ,x\/px = i xy,

Soll aber die zwischen den beiden Ordinaten PM und P'M ',deren Abscissen AP = a und A P' = b sind, liegende FlächePP'M'M ausgedrückt werden; so bestimme man entweder in

JL 1 .

dem allgem. Integral 2 = £/»**' + C zuerst die Constante C so,dafs für x = a, 2 = 0 wird (d. i., §. 833 , für den Anfang des

i. i. 2. J. 1

Integrals), wodurch C = — ip’o 1 , demnach z — jp*(x' —u a )

wird, und nimmt dann das Integral bis = i (bei welchem