Werth das Integral enden soll); so erhält man für die gesuchtei i. X

Fläche : z = i p* (&’ — a’J. Oder man nimmt sogleich (§. 834 )

j, i ’X XL I

das bestimmte Integral f^p' x' dx = Xpl (b *—«’) (wel-ches nämlich in dem Unterschiede der beiden Flächen A P'M'und APM besteht).

3 ) Für den Kreis, dessen Gleich. (§, 400) y = V a 2 — x 2

ist, hat man z = (dx ^a 2 —x 2 oder (§.801 , Beisp. 2)

x ,_ a 2 /.r\

z = - ya 2 — x 2 - j- — arc sin l-J -J- C;

wobei die Const. C wegfällt, wenn die Fläche von der durchden Mittelpunct gehenden Ordinate (für welche sofort .r = 0 ist)gerechnet wird. Nimmt man dann das Integral bis x — a (d. h.also, nimmt man das bestimmte Integral von x — o bis x — a),so erhält man für die Fläche des Viertelkreises:

s= ia'- arc sin 1 — - a 2 -,

• * 2 ’

und sonach für die ganze Kreisfläche: F — a 2 it.

Man kann auch von der Gleich, y—^ 2 ax — x - (§. 397) aus-gehen und das Integral z —fdx 2ax — x 2 , welches das Kreis-segment A'pm' (Fig. 91), wofür Ap — x ist, darstellt, aus Fig. 91§. 808 nehmen; oder wenn man für jt eine unendl.Keihe habenwill, dieses Integral nach §. 827 entwickeln.

4 ) Für die Ellipse hat man, die Abscissen vom Scheitel

b _

gezählt: z = ~^fdx y 2ax — x 2 = Segm. A'p m (Fig. 91). DaKig.91

aber (vorig. §.) das Integral fdx\^2ax- — x 2 das KreissegmentA'pm' darstellt, und dieses mit dem erstem für .r—o gleich-zeitig verschwindet, also das eben; genannte Integral in beidenFlächen einerlei Anfang hat; so ist, fdx )/ 2ax — x 2 = X

b

gesetzt, sofort A'p m-.A'p m' = — X: X = b : a. Dieses con-

stante Verhältnis gilt aber für jeden Werth von x bis zu xzz 2 a,wofür A' p m in die Halbellipse = Xf, und A' p m' in den Halb-kreis — X p ^übergeht, so, dafs man hat: Xf : X F = b : a,woraus endlich für die Fläche der ganzen Ellipseb b

f ~ - F ■=, - a 2 n — ab rz folgt.

J a a 6

5 ) Zur Bestimmung des elliptischen S e c t o r s ACM (Fig. 91) Fig. 91,

ßurg’ft Compundium d, hob. Math. 35