</== jPP'sr(MP* + M'P ' 1 + MP. M'P )

= t h *(y~ +/* + yy )

= |^(3^ + 3r^Ä + --)*

Es ist also, wenn man gleich wieder durch h abkürzt:

v'

V

T7t ( 3 y z + Ph + . .)du ’

di + P h + • •

und für h — o, wofür — = i wird: *r 2 , also

v dx

du=xxy 1 dx, oder das Volumen des durch Umdrehungerzeugten Körpers: 2 ) u — xf^dx.

Anmcrli, Nach der Methode des unendlich Kleinen entstehtdurch Umdrehung der Fläche AB MP der Körper u, alsodurch jene des unendlich schmalen Trapezes Pm, welches(§. 698, Anm.) als ein Rechteck behandelt werden darf, dasElement desselben du, und da dieses Rechteck einen Cylin-der beschreibt, dessen kreisförmige Basis den Halbmesser^besitzt und Höhe = dx ist; so folgt wie vorhin du = xy- dx.

§•866« Beispiele hierüber.

1) Ist wieder die Umdrehungscurvo die gemeine Para-bel, so ist wegen y z = p xi

u = xpfxdx = -Lxpx 1 — ~xy-,

wozu keine Constante kommt, indem für x=o auch u — o ist.Läfst man die Abscisse x bis h zunehmen und setzt die zugehö-rige Ordinate y — Vphxx r, so bildet h die Höhe und r denHalbmesser der kreisförmigen Basis des parabolischen Conoides,und man hat für den Inhalt desselben: u = -r-nhx dieser ist

a 7

also dem halben Cylinder gleich, welcher mit dem Conoid ei-nerlei Basis und Höhe besitzt.

2) Für das durch Umdrehung der Ellipse um die g r o f s eAxe entstehende Ellipsoid hat man :

U — T. f— O- — X~) dx = — (<T- X — iz3) -f- C.

Ja - a 1 3

Für den Inhalt der Zone, deren Oberfläche durch einen Bo-gen erzeugt wird, dessen Endpuncten die Abscissen a und ßentsprechen, mufs dieses Integral wieder von x=a bis x = ß