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GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A TROIS DIMENSIONS.

Enfin la troisième hypothèse, cos ?= o , donnePcos’e+P'sin'^P',

Pcos’ 0 -J-P'^in 1 0 — P'cos 5 S -j-P'sin’ 0 ,

(P"— P')sia 5 0 = (P'—P) cos a 0 ,

/ "P'_P

tang0=±:y j— p-,.

Quels que soient les signes de l’èqualion [E], tant que la surfacen’est pas de révolution, il y a toujours une des quantités P, P', P",comprise entre les deux autres. Supposons que ce soit P' : les deuxpremiers radicaux seront imaginaires, le troisième seul sera réel. C’est-à-dire que , pour avoir des sections circulaires, il faut prendre •

cos? = o, tang0 = ±y/^£| 7 .

Ces valeurs indiquent deux séries de plans parallèles à Taxe des y.

Quand la surface est de révolution , deux des quantités P, P', P", sontégales. Soit P W =P' : les solutions des équations [ 2 ] et [3] deviennent

cosô=o, tangp = 00 ou cosp = ojsin p = o, tang ô = ZÈZ[/ — 1 ;cosp=o, tangô=C0 ou cosô^o.

Les deux solutions réelles se composent des mêmes valeurs, cos ô=o,cos p = 0 ; et elles montrent que les sections circulaires doivent être per-pendiculaires à l’axe des x , qui est ici l’axe de révolution.

Soit P" = P'=:P, les équations [ 2 ] et [3] sont vérifiées d’elles-mêmes,quels que soient p et 0, ce qui revient à dire que l’intersection d’unesphère par un plan est toujours un cercle.

Modifions l’analyse précédente pour le cas des paraboloïdes, Pour cessurfaces, on peut prendre, en coordonnées rectangulaires, l'équation[F] py+PVrsaQ*;

et la substitution des valeurs [ 1 ] donne encore un résultat de la formeAy /a +Ba/y'-|-C:c' a -|-etc.n=o. Mais alors on a, pour A, B, C,

A= P'cos 2 pcos a 6 -J-P"sin a ô , B== 2 P'sin pcos p cos ô , C:=P'sin a p ;

et, pour que la section soit un cercle , il faut poser

sin p cosp cosô = 0 , P'cos a p cos a Ô + P w sin a Ô = P'sin 2 p.

On tire de là trois systèmes de valeurs, savoir :

sin p

tangâ — ity/

Quand le paraboloïde est elliptique, P' et P n sont de même signe : sralors P' est plus grand que P", les valeurs de p et de 0 ne sont réelles quedans le troisième système; mais si P' est moindre que P n , elles ne sentréelles que dans le second. On a ainsi deux séries de plans perpendieu-