494 troisième partie*

laires au plan de xy ou à celui de xz. Si P" = P', on n'a plus qu’une seulesérie de plans, lesquels sont perpendiculaires à l’axe du paraboloïde.

Quand le paraboloïde est hyperbolique, P" et P' sont de signes diflë-rens , et il n’y a que le premier système qui donne p et Û réels. Mais alorsles coefliciens A et C sont zéro, en même temps que B; et l’cquationAy' 2 + etc. = o, se réduisant au premier degré, ne représente plus quedes lignes droites.

Ainsi , il est démontré que les surfaces du second ordre, le paraboloïdehyperbolique excepté, peuvent être coupées selon des cercles , par des plansparallèles conduits suivant deux directions différentes .

Et encore pourrait-On écarter toute exception, en regardant les droites,qu’on peut tracer sur le paraboloïde hyperbolique, comme des cerclesdont les rayons sont infinis.

On remarquera, sans doute, que les centres des cercles de chaque sériesont sur un diamètre de la surface : car il en est ainsi de toutes les sec-tions parallèles (6a4)- On doit remarquer aussi que la propriété de la sec-tion anti-parallèle du cône oblique est un cas particulier du théorèmeprécédent.

Démonstrations de quelques théorèmes.

688. Théorème. Supposons que des cônes aient pour bases les sectionsplanes d’une surface du second ordre , et pour sommet commun un point decette surface ; puis , imaginons , par ce point , un plan tangent à la sur-face : les sections faites dans les cônes et dans la surface , par un planparallèle au plan langent, seront des courbes semblables et semblablementsituées.

Quel que soit le point de la surface qui serve de sommet à ccs cônes,choisissons pour ligne des x le diamètre qui passe par ce point, et le plantangent pour plan d e yz. En dirigeant convenablement les y et les z , onpourra donner à l’équation de la surface la forme

[i ] P P^-j- P " z* = aQx.

Prenons pour la base d’un des cônes l’intersection de la surface par unplan quelconque j et soit

M a: = *r+^+î'

l’équation de ce plan. Si l’on désigne par x', y', z', les coordonne'es d’nnpoint pris à volonté sur cette intersection, on doit avoir

[3] P*'*+Py a +ï , ''*' I = 2Q æ '> x'= *y+ / gz'+ 7 .

D'un autre côté, si on mène une droite par ce point et par l'origine, seséquations seront

M]

y

Or, cette droite est une génératrice quelconque du cône ; donc en éli-minant a:', y, z', entre [3] et [4], on aura l’équation de ce cône.

Yx' zj/

Des e'quations [ 4 ] on tire y' — — , z'— — ; et par suite les équa-