TROISIEME PARTIE.
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Or il est clair que cette équation représente une courbe réelle ; par con-séquent l'équation [i] est celle d’un cône.
Eximplk VI. Si on a l’équation
[i] Sar’+a/'+az’-f ar*+6j: + 6r + 6ï-f 9=0,
et qu’on la traite comme l’exemple précédent, on apprend qu’elle repré-sente un point unique.
C’est ce qu’on peut rendre évident sur l’équation même. En effet, onpeut l’écrire ainsi
3 ( x + 0’+ a Cr+T *+4 )*+ï (* + 1 )* = o i
et alors on voit qu’on ne peut y satisfaire qu’en posant à la fois x -|- i = o,.V + f*+-i = o, *4.1=0, d’où * = — i, y = — i, *=— i.
Remarque. Il ne faut pas croire que le changement fait à l’équation [i],pour lui donner la forme précédente, soit un artifice de calcul que lasagacité puisse seule découvrir. Le procédé qu’il faut suivre est, au con-traire, naturellement indiqué par les théories de l’algèbre; et voici enquoi il consiste.
Considérons un polynôme du second degré en x, y, *,
X = Ar’-j- AV4- A"*’ 4" ahxy 4- etc.
Si on pose l’équation X =0, on en tire, pour x , des valeurs de la formex= X,;t\/Y, X, étant une fonction du premier degré en y et :, et Yune fonction du second degré. En vertu du théorème connu sur la com-position des équations, on aura
X = A(x— X,— */Y) (x—X.-f v^Y) = A (x — X,)*—AY.
Supposons qu’on ait Y — ajr’-^-a'x'dp- aty*4* etc - > et traitons ce poly-nôme de la même manière que X. On posera l’équation Y = 0, et on entirera y = Y, ± \/7. , en désignant par Y, une quantité du premier degréen*, et par Z une quantité du second degré. Alors on a
Y=o(y-Y,- ✓Z)tr-Y I 4VZ) = a (y-Y,)*-oZ.
Enfin , supposons qu’on ait Z = «*’ -j-a/Si-J-y, et qu’en posant Z = o,on trouve z=L,±\/U , Z, et U étant des quantités constantes. Il estclair qu’on a aussi
z=*(*—z.— ✓U)(«—z,4-v'U)=«(*—z.)*— «u.
Maintenant, mettons dans Y cette valeur de Z ; et ensuite, dans X,celle de Y ; on ohtient
X = A(x— X,)* — A a(y—Y,)’4-An«(* — Z,)’— AaaU.
Telle est la transformation qu’on peut faire subir au polynôme X, et qu’onvoulait faire connaître.
G98. Exemples dans lesquels il y a une infinité de centres situés en lignedroite.
Exemple I. Soit l’équation
[»] x’4*T’4‘ li ’+ axy -J- u *4" ay* — ax — ay4-a* = o.