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GÉOMÉTRIE ANAI.VTIQUE A TROIS DIMEÜSIOÜS.

S’il y a un centre, il est donné par les équations

* + r + * = , > y +* + *=!« M + x+y=-i.

Les deux premières sont identiques, et les deux dernières donnent

H * = ->, y=-x + 3 ;

par conséquent, il y a une infinité de centres situés sur la droite repré-sentée par les équations [a]. En cherchant la section faite par le plan deyz , il vient

y*-{- az’-f- ayz — ay -J-ax = o ,d’où _

y= — *+ *±V— 4 * + '- $

Si on égale à xéro la quantité qui est placée sous le radical, on trouvez— —a±\/5. Puisque ces valeurs sont réelles et inégales, et que z’,sous le radical, est précédé du signe—, la section est une ellipse (»3g),et par conséquent l'équation [:] appartient à un cylindre elliptique.Exemple II. Soit l’équation

[t] x’— y '—a z’-J-axy— ^yz-\-y-\-zz=zo.

Les équations dérivées sont

x-\-y = o, y —x+az— i = o, iz-\-iy —i = o.

La première et la troisième donnent

[»] r = ~y, z = — r + î!

et ces valeurs rendent la seconde équation identique, ce qui prouve qu’ilexiste une infinité de centres, dont le lieu est la droite des équations [a].En faisant z= o dans [i], il vient

x’—y’-|-axy-^-3y=:o, d’où x = — y±.ÿ ay'—*y ;et on peut affirmer présentement que l’équation [î] représente un cylindrehyperbolique.

Exemple III. Soit

[i] x*+y*—«T+x — y —* — o.

Pour déterminer le centre, on a

ax — ay-f-i = o, ay —ax—i=o, —az — i=o.

La première équation est la même que la seconde ; ainsi, le lieu descentres est encore une droite. Mais, en posant x = o, l’équation [t] donney =: z i ety =—*i c’est-à-dire qu’on a deux droites non parallèles.Dès-lors, il est clair que l’équation [i] appartient à un système de deuxplans qui se coupent.

Si on la résout par rapport à l’une des variables, on obtiendra, sépa-rément, les équations des deux plans, savoir: x=zy-\-z, et x =y—-— x*Exemple IV. Soit l’équation

[ 0 x ’+r’+ i 2 '— 3jrz —yz—x +.r+ z +i = °-

On reconnaît encore qu’il y a une infinité de centres, situés sur ladroite qui a pour équations

[a] r=l* + i, .y=iz-{.