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Arithmetik und Algebra.
j-b = a (16)
darstellen. Auch die folgenden Gleichungen, welche den Gegensatz zwischenDivision und Multiplication in anderen Formen ausdriicken, ergeben sich unmittel-bar aus dieser Erklärung:
a ■ b
1 a a (1?) -
a
a: T = b.b
Heis, § 4, § 17, N. 1—19, 33—34. Bardey I.
In der Praxis bedient man sich zur Ausführung der Division in der Regel des Verfahrensbei der oben zuerst genannten Art, d. h. einer mehrfachen Subtraction, während der Name Di-vision eher von der zweiten Art, dem Theilen, gebildet ist. Bei jener praktischen Ausführungerweist sich das früher erwähnte Verfahren der Subtraction als besonders zweckmässig, da manauch bei mehrziffrigen Zahlen nicht nöthig hat, die Theilprodukte, sondern nur die jedesmaligenReste hinzuschreiben. Folgendes Beispiel möge dies näher erläutern; Es sei 59858: 173 zuberechnen. Der erste Theilquotient 3 wird mit 173 multiplicirt und sogleich von 598 subtrahirt,indem man rechnet; 3 ■ 3 = 9; 9 + 9 = 18; 3'7 = 21, dazu die 1 von der vorigen 18 addirt,giebt 22; 2 + 7 = 9; endlich 3 • 1 = 3, dazu die 2 von den 22 addirt, giebt 5, 5 + 0 = 5;also ist der erste Rest 79. In dieser Weise wird fortgefahren, sodass die ganze Ausrechnungnur folgende geschriebene Ziffern enthält:
59858 ; 173 = 3467951038
Bei dieser Gelegenheit mag noch darauf hingewiesen werden, dass auch bei dem Multipli-ciren mehrziffriger ganzer Zahlen die im gewöhnlichen Unterricht gelehrte Form nicht immerdie praktisch bequemste ist. Man gewöhne sich, die Faktoren nicht unter, sondern neben ein-ander zu schreiben und mit der höchsten Ziffer des Multiplicators zu beginnen, sodass die Theil-produkte nach rechts statt nach links eingerückt werden, wie folgendes Beispiel zeigt
3295 • 742230651318065902444890
Der Vortheil dieser Schreibweise ergiebt sich später bei der sogenannten abgekürztenMultiplication.
§ 9. Gebrochene Zahlen.
Wie bei der Subtraction, so ensteht auch bei der Division die Frage, ob die-selbe auch dann immer ausführbar ist, wenn die Werthe des Dividendus und desDivisors nicht durch Umkehrung einer wirklich ausgeführten Multiplication ent-standen sind, sondern wenn für dieselben willkürlich bestimmte Zahlen gesetztwurden. Auch hier lassen sich drei Fälle unterscheiden:
In dem ersten derselben ist der Dividendus a des Quotienten a : b einVielfaches des Divisors b, d. h. er kann aus b durch wiederholtes Setzen desletzteren als Summand abgeleitet werden. In diesem Falle ist die Division imbisherigen Sinne ausführbar und führt stets auf einen einzigen bestimmten Werthdes Quotienten.
Im zweiten Fall ist a = b. Nach der Erklärung der Multiplication ist 1 • a= 1 + 1 + 1 + .. = « zu setzen, dagegen hat a • 1 als eine Summe mit nureinem Summanden keinen Sinn. Es kann jedoch auch dem Ausdruck a ■ 1 eineBedeutung beigelegt werden, und diese kann consequenter Weise nur die sein,