2 . Multiplication und Division.

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Faktoren und bestimmt das Vorzeichen des Produktes nach der praktischenRegel: Gleiche Vorzeichen geben -t-, ungleiche —.

Anmerkung: Namentlich die letzte der obigen vier Formeln (32) ist häufig missver-standen worden, indem die Vergleichung der positiven und der negativen Zahlen mit dem Bei-spiel von Schulden und Vermögen Anlass gegeben hat, diese Formel in ganz unstatthafter Weisedahin zu deuten, dass »durch Multiplication von Schulden mit Schulden Vermögen enstehe.«Da dieser Satz an sich völlig sinnlos ist, indem zwei benannte Zahlen niemals mit einandermultiplicirt werden können, so wurde, um sich überhaupt etwas unter demselben zu denken, derzweite Fehler gemacht, dass man diese Multiplication von Schulden mit Schulden verwechselteMit einer Vervielfältigung von Schulden, also mit einer Multiplication der Schulden mit einerabsoluten Zahl, und so zu dem widersinnigen Satze kam, dass durch eine Häufung vonSchulden Vermögen entstehe. Die richtige Deutung der Formel in der Anwendung auf dasBeispiel von Schulden würde vielmehr die sein, dass durch Vervielfältigung von Schulden undgleichzeitige Umkehrung derselben in ihr Gegentheil, Vermögen entstehe. Der Satzsa gt also beispielsweise: Wer 8000 M. Schulden hat und dieselben in das vierfache des Gegen-theils, d. h. in Vermögen, verwandelt, hat 8000 • 4 M. Vermögen. —

In Folge der vorstehenden erweiterten Fassung des Begriffs der Multiplicationergeben sich ohne Weiteres die entsprechenden Sätze für die Division als dieUmkehrungen der ersteren:

Aus a • 0 = 0 • « = 0 folgt zunächst für die Division mit Null, dass

a

zu setzen ist, mit Ausnahme des Falls, in welchem auch a den Werth Null

erhält. Denn die in ^ enthaltene Frage nach dem Faktor, dessen Produkt mit

a gleich Null sei, wird durch die vorstehenden Regeln dahin beantwortet, dass

dieser Faktor selbst gleich Null sei. Für die in ~ enthaltene Frage aber, welche

Zahl mit 0 multiplicirt, zum Resultat Null gebe, ergiebt sich die Antwort, dassjede Zahl diese Eigenschaft habe. Der Ausdruck

0

0

ist daher ein völlig unbestimmter, oder ein unendlich vieldeutiges Symbol, welchesjede beliebige Zahl bedeuten kann, sodass aus ihm allein nicht zu ersehenist, welche bestimmte Zahl er vielleicht in einem vorliegenden besonderen Fallbedeute. — Der Ausdruck

a

0

endlich fordert die Auffindung einer Zahl, deren Produkt mit Null gleich a sei.Eine solche Zahl können wir überhaupt nicht angeben — den Fall a = 0 selbst-verständlich wieder ausgenommen — da ja jede angebbare Zahl mit 0 multiplicirtein Produkt gleich Null giebt.

Lässt man in dem Quotienten ^ bei unverändertem Dividendus den Divisor

^ kleiner werden, indem man denselben durch c dividirt, so wird der Quotient

c mal so gross. Ist b = ~, so ist = a • n. Lässt man nun n ohne Ende wachsen,

so nähert sich b ohne Ende der Null, und der Werth des Quotienten kann aufdiese Weise grösser als jede angebbare Zahl gemacht werden. Man pflegt diesdadurch auszudrücken, dass man