4- Vom Radiciren.

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neue, erweiterte Bedeutung der Potenz richtig bleiben, sodass also das Rechnenmit Wurzeln ohne Weiteres auch auf ein Rechnen mit Potenzen zurückgeführt

werden kann. So ist z. B. auch

p 1t

a 9 = a ’•

nq /-- nq / - nq /-

= yd'"? • ya n P — y«"'? + «/ =

9 , denn a '

mq + np in

= a 11

i 9 = ’y a m ■ S/aP

■ a U9

Umgekehrt kann man auch jede Potenz in Form einer Wurzelgrösse schreiben,

1_

_ in /—

z. B. a m = y a.

Der Ausdruck y~a' H gestattet endlich noch eine andere Umformung, welchesich auf die Reihenfolge der Operationen bezieht und in der Formel

ya m —\Yä) (o2)

ausgesprochen ist. Man kann also statt der Potenz die Basis derselbenradiciren und die entstandene Wurzel mit dem Potenzexponentenpotenziren. Der Beweis dieses Satzes ergiebt sich daraus, dass

[(yz) m Y = |(>4)'T" =

So ist z. B. f/p = 2 7 ; -j/253 = 53.

Umgekehrt kann man hiernach eine Wurzel potenziren, indem man ihrenRadicanden potenzirt.

Um endlich eine Wurzel zu radiciren, findet man die Formel

m - n -

vyi=V”-yä=yä ( 53 ),

d. h. man kann die beiden Wurzelexponenten mit einander ver-tauschen, oder auch statt der zweimaligen Wurzelausziehung eineeinmalige mit dem Produkt der beiden Exponenten setzen.

Der Beweis ergiebt sich wieder aus dem Begriff der Wurzel:

Es ist (l //, |/ß) = j/yV« = ya, und auch

m /— n /—

ya == ya.

Umgekehrt zeigt die Formel (53), wie man eine Zahl mit einem Produkt alsExponenten radiciren kann.

/ a m b ="y' a"‘b.

So ist also beispielsweise \/a =Y ~\/«, ^ a- "yb =Heis § 41—46. Bardey XIII, XVI.

§ 39. Fortsetzung.

Die im vorigen Paragraphen entwickelten Gesetze des Rechnens mitWurzeln auszusammengesetzten Radicanden lieferten zugleich diejenigen für Wurzeln mitzusammengesetzten Exponenten. Ist der Exponent eine Summe oder Differenz,so giebt es keine einfache Umformung der Wurzel. Ist derselbe ein Produktoder ein Quotient, so findet die Formel (53), bezw. (48) Anwendung. Ist derExponent eine Potenz oder wieder eine Wurzel, so finden ebenfalls keine ein-fachen Umformungen statt.

Ebenso sind im § 38 die Gesetze für die Verbindung zweier Wurzeln durcheine der bisherigen Operationen enthalten. Für die Summe oder Differenz zweierWurzeln giebt es keine einfachen Umformungen, für das Produkt oder den Quo-tienten zweier Wurzeln finden die Regeln (46) und (47) Anwendung, für diePotenz einer Wurzel, oder die Wurzel aus einer Wurzel waren die Regeln (52)und (53) abgeleitet.