6. Die planimetrischen Constructions-Aufgaben.

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§ 71. Weitere Beispiele zur Methode der ähnlichen Figuren.

a) Dreiecksconstructionen, bei denen zwei Winkel des Dreiecks gegebensind, lassen sich sämmtlich leicht in der angegebenen Weise ausführen. Mankann hiernach verschiedene der früher nach der Methode der Hülfsfigurenbehandelten Aufgaben lösen, wie z. B. wenn ausser den beiden Winkeln gegebensind: 1. eine Höhe h, 2. eine Mittellinie m, 3. eine winkelhalbirende Transver-sale w, 4. die Summe zweier Seiten a + i, 5. die Differenz zweier Seiten a — b,6. der Umfang a -t- b ■+ c, 7. der Ueberscliuss der Summe zweier Seiten über diedritte a -+- b — c, 8. die Summe zweier Höhen h a -1- hi, 9. die Differenz zweierHöhen hi — h a , 10. der Radius r des umbeschriebenen Kreises, 11. der Radius pdes einbeschriebenen Kreises, ferner Summen und Differenzen von Berührungsradienvon Seiten und Radien, Seiten und Höhen, u. dgl. m.

b) Statt eines Winkels kann das Verhältniss zweier Seiten a : b = m : n desgesuchten Dreiecks gegeben sein. Der gegebene Winkel ist dann entweder dereingeschlossene -y oder ein gegenüberliegender. Im letzteren Falle kann die Auf-gabe zweideutig werden. Man bilde hiernach die den Aufgaben unter a) ent-sprechenden. Für ein rechtwinkeliges Dreieck genügt die Angabe eines einzigenSeitenverhältnisses, ohne einen Winkel, da für letzteren der rechte Winkel bekanntist. Es können endlich beide Winkel durch Verhältnisse von Seiten des gesuchtenDreiecks vertreten sein, zu denen dann beispielsweise jedes der unter a) 1—11angegebenen Stücke als drittes treten kann. —

Statt jedes Verhältnisses zweier Seiten kann das Verhältniss der zu ihnensenkrechten Höhen gegeben sein, da je zwei Seiten eines Dreiecks sich zu ein-ander umgekehrt wie die zugehörigen Höhen verhalten.

Man construire beispielsweise ein Dreieck aus

1. dem Verhältniss der Höhe zur Projection einer anliegenden Seite auf dieGrundlinie, dem Verhältniss der anderen anliegenden Seite zu ihrer Projectionauf die Grundlinie und der Summe der drei Höhen,

2. dem Verhältniss des Radius des einbeschriebenen Kreises zu einem aufeiner Seite durch den Berührungspunkt gebildeten Abschnitt, dem dieser Seitegegenüberliegenden Winkel und der zu dieser Seite gehörigen Mittellinie,

3. den Verhältnissen der drei Höhen zu einander und der Differenz der durcheine Winkelhalbirende auf der gegenüberliegenden Seite gebildeten Abschnitte.

c) Noch allgemeiner kann man die vorstehende Methode überhaupt mit der-jenigen der Hülfsfiguren verbinden, indem man jene bei der Construction vonFiguren anwendet, die ihrerseits wieder mittelst der letzteren Methode als Hülfs-figuren auf die Construction von anderen, verlangten führen. Die Hinzufügungbesonderer Beispiele, die sich nach dem Vorhergegangenen leicht bilden lassen,darf unterbleiben.

Auch auf die Anwendung der Methode auf die Construction von Viereckenund Polygonen, die meist auf diejenige von Dreiecken zurückgeführt wird, sollder Kürze halber nicht näher eingegangen werden.

D. Methode der algebraischen Analyse.

§ 72. Ausgeführte Beispiele der Anwendung der Methode.

1. Aufgabe: Eine gegebene Strecke so zu theilen, dass dieDifferenz der Quadrate der Abschnitte gleich dem Rechteck aus derganzen Strecke und ihrem kleineren Abschnitt sei.