Anhang: Die sogenannten merkwürdigen Punkte des Dreiecks.

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Geraden, dass der vorstehende Satz auch für jede das Dreieck ABC schneidendeGerade gelten muss, sofern man die Parallelen von den mit N auf verschiedenerSeite der Geraden liegenden Eckpunkten als negative Grössen behandelt. Es istalso allgemein die vom Schwerpunkt aus gezogene Parallele gleich dem drittenTheil der algebraischen Summe der von den Eckpunkten aus gezogenen Parallelen.

Für jede durch den Schwerpunkt selbst gehende Gerade folgt hieraus insbe-sondere der Satz, dass die algebraische Summe je dreier nach ihr von den Eck-punkten aus gezogenen Parallelen gleich Null ist.

6. Sind A j, B,, C ] die Berührungspunkte des dem Dreieck ABC einbe-schriebenen Kreises O,welche bezüglich auf denSeiten BC, AC, AB lie-gen, so ist bekanntlichAB, ^AC„BC,=BA,und CA l = CB V Daherist AB . =l(AB, +AC,)

= 4- [AC + AB — BC,

— CB,] = 4 - [AC -+- AB

— BC], oder nach derüblichen Bezeichnungs-weise der Längen der dreiSeiten, AB 1 — AC, =

(b -+- c — d).

Setzt man a + b + c—%-s, so erhält man

AB,=AC =s — a.

In gleicher Weise muss BC, — BA, = s — b , CA, = CB, — s — c sein.

Sind entsprechend A 2 , B 2 , C 2 die Berührungspunkte des der Seite BC an-beschriebenen äusseren Berührungskreises O a des Dreiecks, so ist in gleicher WeiseAB 2 = AC 2 = A (AB 2 -+- AC 2 ) = A (AC+AB + BC 2 + BC 2 )

= i(AC+AB + BC) = £ (a -+- b +c), oderAB 2 = AC 2 = s.

Daher ist BC 2 = BA 2 — s — c und CB 2 = CA 2 = r — b.

Entsprechende Gleichungen gelten selbstverständlich für die durch die Be-rührungspunkte der beiden anderen äusseren Berührungskreise bestimmten Ab-schnitte der Seiten.

Aus den vorstehenden Resultaten folgt unmittelbar B A 2 == CA, nnd BA,= CA 2 ; die beiden auf derselben Seite liegenden inneren Berührungspunktesind also vom Halbirungspunkt dieser Seite gleichweit entfernt. Ferner istA,A 2 — BC — BA 2 — CA, r= a — 2(r — c) — a — (a -+• b — c) = c — b, d/h. derAbstand der genannten beiden Berührungspunkte von einander ist gleich derDifferenz der beiden anderen Seiten.

Ferner ist B,B 2 — AB 2 — AB, — s — (r — d) — a, und ebenso ist C, C 2 = a,mithin auch B,B 2 = C, C 2 . Die auf derselben Seite und deren Verlängerungliegenden Berührungspunkte des inneren und eines äusseren Berührungskreiseshaben also von einander einen Abstand, welcher gleich derjenigen Seite desDreiecks ist, die von jenem äusseren Kreise in einem inneren Punkte berührtwird.

Sind also A z , A, bezüglich die Berührungspunkte der den Seiten AC, AB