364

Planimetrie.

Ä

Linie liegen müssen.

da I, N, H die Halbirungspunkte derdrei Strahlen DE, DB, DA sind. Be-trachtet man nun BF als Transversaledes Dreiecks AED, so ist

AB- EC-DF= AF-DC-EB.

Setzt man hier AB — 2 • HN,EC= 2 • GM, DF = 2-10 u. s. w.,so erhält man

HN- GM-10 = GO- HM. IN,und da M, N, 0 Theilpunkte der Seitendes Dreiecks GHI sind, so ergiebtsich hieraus, dass dieselben in gerader

4. In einem einfachen Sechseck ABCDEE heissen A und D, B und E,C und F einander gegenüberliegende Eckpunkte und AB und DE, BC und EF,CD und AE einander gegenüberliegende Seiten..

Lässt sich um ein einfaches Sechseck ein Kreis beschreiben, soliegen die drei Durchschnittspunkte je zweier einander gegenüber-liegender Seiten in gerader Linie.

JSl

Zum Beweise dieses Satzes,welcher der Pascal’ sehe Satz ge-nannt wird, verlängere man in demSechseck ABCDEE drei nicht an-einanderstossende Seiten BC, DE,FA, so dass sie ein Dreieck LMNbilden. Dann folgt aus dem Satzevon der Potenz des KreisesLC- LB = LD ■ LE,

MD ■ ME = MF • MA,

NF-NA = NB- NC,und indem man, wenn G, H, I bezw.

die Durchschnittspunkte von AB undDE, BC und EF, CD und AF sind, das Dreieck LMN der Reihe nach mitden Transversalen CD, EF und AB verbindet,

LD- ML-NC = LC- NI- MD,LE- MF-NH= LH■ NF-ME,MA- LG - NB = MG - LB ■ NA.

Multiplicirt man die gleichstelligen Seiten dieser sechs Gleichungen miteinander und streicht in der entstehenden Gleichung die gleichen Faktoren aufbeiden Seiten, so erhält man

, LG - ML- NH = LH- MG ■ NI,

und diese Gleichung, auf das Dreieck LMN angewendet, zeigt, dass G, I undH in gerader Linie liegen.

Jedes Sehnenfünfeck kann als ein Sehnensechseck betrachtet werden, inwelchem zwei Eckpunkte zusammengefallen sind, also eine Seite verschwundenist, deren Richtung aber dann noch durch die in dem betreffenden Eckpunkt anden Kreis gelegte Tangente angegeben wird. Fallen also z. B. in der vorstehen-den Figur D und E in D zusammen, so wird GM zu der durch D gehenden