7. Einige Abschnitte aus der neueren (synthetischen) Geometrie.

373

rührungssehne die Centrale schneidet, von dem Punkte D wird daher ebenso,wie die Tangenten, von der Potenzlinie halbirt.

Da also die Potenzlinie die Mittelsenkrechte zu CD ist, so muss ihr Durch-schnittspunkt G mit DE von C und D gleichweit entfernt sein. Es ist mithinauch GE= GC, also G ein Punkt, welcher in Beziehung auf den Kreis M undden Punkt C gleiche Potenzen hat. Hieraus geht hervor, dass die Potenzlinievon M und D zugleich die Potenzlinie von M und C ist, oder der Satz:

Die Potenzlinie eines Kreises und eines innerhalb desselbenliegenden Punktes Chalbirt die beiden Tangenten, deren Berührungs-sehne in dem Punkte C halbirt wird.

Es lässt sich dieser Satz mit dem vorhergehenden vereinigen. Aus § 78 istbekannt, dass die Punkte C und D, welche, wie eben gezeigt, dieselbe Potenz-linie mit dem Kreise M haben, den durch C gehenden Durchmesser harmonischtheilen. Daher gilt der Satz:

Die Potenzlinie eines Kreises und eines Punktes halbirt den Ab-stand dieses Punktes von dem ihm zugeordneten harmonischenTheilpunkt des durch ihn bestimmten Durchmessers.

Hiernach kann die Construction der Potenzlinie eines Kreises und einesPunktes auf verschiedene Weisen ausgeführt werden. Auf die Halbirung derTangenten führt die Anwendung des Potenzpunktes. Um mit Hülfe desselbendie Potenzlinie eines Kreises M und eines Punktes D zu construiren, kann maneinen Kreis zeichnen, der durch D geht und M schneidet (oder berührt). Diegemeinschaftliche Sehne beider Kreise und die in D an den Htilfskreis gelegteTangente müssen sich als betreffende Potenzlinien in dem zugehörigen Potenz-punkt schneiden, welcher also ein Punkt der gesuchten Potenzlinie ist. Nocheinfacher nimmt man auf M irgend einen anderen Punkt H an und bestimmtdas Potenzcentrum von M, D und H mittelst der in H an M gelegten Tangenteund der Mittelsenkrechten von D und H. Da die Wahl von II willkürlich ist,so kann man für einen äusseren Punkt D den Berührungspunkt einer von D anM gelegten Tangente wählen, und man sieht, dass man dann auf den Satzzurückkommt, nach welchem der Halbirungspunkt dieser Tangente ein Punktder gesuchten Potenzlinie ist.

7. Die Potenzlinie zweier Kreise ist ferner, soweit sie ausserhalb der letzterenliegt, der geometrische Ort der Mittelpunkte aller Kreise, welche die beiden gege-benen zugleich rechtwinkelig schneiden. Entsprechend ist die Potenzlinie einesKreises und eines Punktes der geometrische Ort der Mittelpunkte aller Kreise,welche den gegebenen Kreis rechtwinkelig schneiden und durch den gegebenenPunkt gehen. Die Potenzlinie zweier Punkte führt in dieser Weise auf den be-kannten geometrischen Ort der Mittelpunkte derjenigen Kreise zurück, welchedurch die beiden Punkte gehen.

Hiernach findet man leicht ohne Weiteres die Auflösungen folgender Auf-gaben: Einen Kreis zu beschreiben, der zwei gegebene Kreise rechtwinkeligschneide, wenn a) sein Mittelpunkt auf einer gegebenen Linie liegen soll oderb) sein Durchschnittspunkt auf einem der Kreise oder c) sein Radius gegebenist. Die entsprechenden Aufgaben können gelöst werden für einen Kreis, dereinen gegebenen Kreis rechtwinkelig schneiden und durch einen gegebenenPunkt gehen soll.

Die Potenzlinie zweier einander schneidenden Kreise ist ferner, soweit sieinnerhalb der Kreise liegt (also die gemeinschaftliche Sehne der Kreise), der