7. Einige Abschnitte aus der neueren (synthetischen) Geometrie.

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linie dieser beiden Punkte, d. i. der Diagonale HK des Tangenten-Vierseits.Ebenso ist F als Durchschnittspunkt der Polare AD von G und der Polare BCvon I der Pol der Diagonale IG. Hieraus folgt endlich, dass der Durchschnitts-punkt der beiden Diagonalen HK und IG der Pol der Verbindungslinie EF ist,und dass derselbe folglich mit dem Punkte X zusammenfallen muss. Somithat man den Satz: Die Diagonalen eines Tangenten-Vierecks und dieDiagonalen des durch seine Berührungspunkte bestimmten Sehnen-Vierecks schneiden einander in einem und demselben Punkte,

Da ferner der Durchschnittspunkt X der inneren Diagonalen des vollständigenTangenten-Vierseits zugleich der Pol der äusseren Diagonale FQ desselben seinmuss, so ergiebt sich aufs Neue der schon am Schluss des § 79 bewieseneSatz, dass die vier äusseren Eckpunkte E, F, P, Q in gerader Linie liegen.

Aus dem vorstehenden Satz erhält man noch nachstehende Folgerungen:

Da, wie bekannt, E der Pol von XF, zugleich aber, wie so eben gezeigt,E der Pol von HK ist, so geht die Diagonale HK des Tangenten-Vierecks inihrer Verlängerung durch den äusseren Eckpunkt F des Sehnen-Vierseits, undebenso muss die Verlängerung der Diagonale Gl des ersteren durch den äusserenEckpunkt E des letzteren gehen. — Die Punkte E, F und P, Q sind vier har-monische Punkte. — In jedem vollständigen Tangentenvierseit ist jede Diagonaledie Polare des Durchschnittspunktes der beiden anderen.

Jedes vollständige Viereck ABCD wird durch Polarisation zu einem voll-ständigen Vierseit; dabei werden die einander gegenüberliegenden Eckpunktedes Vierecks zu einander gegenüberliegenden Seiten des Vierseits und die gegen-überliegenden Seiten des Vierecks zu gegenüberliegenden Eckpunkten des Vier-seits, endlich die Diagonalpunkte des ersteren zu den Diagonallinien des letzteren.Ebenso wird ein vollständiges Vierseit durch Polarisation zu einem vollständigenViereck u. s. w. — Hiernach kann man auch die vorstehenden Sätze ihrem Wort-laut nach abändern. *

5. Zu einem Sehnen-Sechseck ABCDEF sei die Polarfigur des ihm um-beschriebenen Kreises, also das entsprechende Tangenten-Sechseck MNOPQRconstruirt. Nach dem Satze des Pascal liegen die drei Durchschnittspunkte derdrei Paare gegenüberliegender Seiten des ersteren in einer Geraden. Da nunM der Pol der Seite AB und P der Pol dergegenüberliegenden Seite ED ist, so muss derDurchschnittspunkt X dieser beiden Seiten derPol der Diagonale MP des Tangentensechseckssein. Ebenso ist der Durchschnittspunkt Y vonBC und FE der Pol der Diagonale NQ undder Durchschnittspunkt Z von CD und FA derPol der Diagonale O R. Da nun die drei PoleX, Y, Z in gerader Linie liegen, so folgt dassdie genannten drei Diagonalen einander in einemeinzigen Punkte schneiden. Der so als Analogondes PASCAL’schen Satzes gefundene Satz:

In jedem Tangentensechseck schneiden sich die drei Diagonalen,welche je zwei einander gegenüberliegende Eckpunkte verbinden,

in einem einzigen Punktewird der Satz des Brianchon genannt.

Aus demselben folgen nachstehende Sätze durch Verkürzung des Abstandes