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Erster Abschnitt:

Verbindungen von Geraden oder Ebenen.

Kapitel 1.

Verbindung einer Ebene mit Geraden.

§ 1. Senkrechte Gerade.

1. Wir nehmen zunächst den Fall an, dass eine Gerade AB eine Ebene MNschneide. Durch den Durchschnittspunkt F, welcher auch der Fusspunkt derGeraden genannt wird, lassen sich unendlich viele in der Ebene MN liegendegerade Linien ziehen, und es bietet sich der Untersuchung zunächst die Fragenach der Lage der Geraden AB gegen diese verschiedenen Linien dar.

Denkt man sich durch die Schenkel eines im Raume gegebenen WinkelsAFC zwei zusammenfallende Ebenen gelegtund darauf die eine derselben um einen derSchenkel, z. B. AF, gedreht und in einer zweitenLage AFD festgehalten, so lässt sich durchdie beiden Schenkel FC, FD eine Ebenelegen. Die in ihrer Lage unverändert gebliebeneGerade AF bildet dann mit den zwei GeradenFC, FD dieser Ebene gleiche Winkel. War ins-besondere der ursprüngliche Winkel ein rechter,so steht die Gerade AF auf zwei Geraden derEbene DFC zugleich senkrecht.

Es ist also möglich, eine Gerade AB und eine Ebene MN so zu construiren,dass erstere mit zwei durch ihren Fusspunkt in letzterer gezogenen Geraden FC,FD zugleich rechte Winkel bildet. Ziehtman in diesem Falle eine beliebige dritteGerade FE in der Ebene durch den Fuss-punkt von AB, so lässt sich beweisen,dass AB auch auf FE senkrecht stehenmuss. Denn trägt man auf AB von F ausgleiche Strecken FG, FH ab, schneidetferner die drei Geraden FC, FE, FDdurch eine vierte Gerade bezüglich in /,

K, L und verbindet G und H mit diesendrei Durchschnittspunkten, so ist — wieleicht aus den betreffenden planimetrischen Sätzen nachweisbar —■

1. A GFDSB A HFI, daher GI= HI,

2. A GFL = A HFL, daher GL = HL,

3. A GIL §§ A HIL, daher Z GLI= Z HLI,

4. A GLK ss A HLK, daher GK= HK,

5. A GFK SS A HFK, daher Z GFK— Z HFK.

Da nun diese letzteren Winkel zugleich in der durch GII und FK bestimm-ten Ebene Nebenwinkel sind, so muss jeder derselben ein rechter sein, d. h. GFmuss senkrecht auf FK stehen.

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