2. Verbindung einer Ebene mit einer andern Ebene.

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§ 7. Fortsetzung: Die dreiseitige Ecke.

1. Drei Ebenen, deren Durchschnittslinien einander in einem Punkte schneiden,theilen den Raum im Ganzen in acht Theile.

Sie bilden also acht dreiseitige Ecken imengeren Sinne, denn unter einer solchen verstehtman dasjenige Raumgebilde, welches entsteht,wenn man von einem Punkte aus drei beliebigenicht in einer Ebene liegende Strahlen undzwischen je zweien derselben das durch sie be-stimmte Ebenenstück legt. Im Folgenden sollder Begriff der Ecke stets in diesem engerenSinne benutzt werden.

Jede dreiseitige Ecke hat drei Ebe-nen, deren Durchschnittslinien die Kantender Ecke heissen; der gemeinschaftliche Durchschnittspunkt der letzterenwird der Scheitel oder die Spitze der Ecke genannt. Je zwei Kanten bildenmit einander einen ebenen Winkel und je zwei Flächen einen Flächenwinkel.Die dreiseitige Ecke hat hiernach drei ebene Winkel und drei Flächenwinkel,welche insbesondere häufig auch die sechs Stücke der Ecke genannt werden.Jedem ebenen Winkel liegen zwei Flächenwinkel an und einer gegenüber, undumgekehrt.

In gleicher Weise hat jede n -seifige Ecke einen Scheitel, n Kanten, n ebeneWinkel und n Flächenwinkel.

Beschreibt man um den Scheitel einer Ecke in jeder der Ebenen derselben mit einem unddemselben Radius je einen Kreisbogen zwischen den betreffenden Kanten, so entsteht eine vonKreisbogen gebildete »-eckige Figur im Raume. Die ebenen Winkel der Ecke werden durchdie Seiten dieser Figur, d. h. durch jene Kreisbogen, deren Centriwinkel sie sind, gemessen;die Winkel dieser Figur, d. h. die Winkel der in jedem Eckpunkt an die Seiten gelegten Tan-genten, sind die Neigungswinkel der Flächenwinkel der Ecke. Diese Beziehung zwischen derEcke und der zugehörigen krummlinigen Figur wird dazu verhelfen, die Analogie zu verdeutlichen,welche im Folgenden zwischen Eigenschaften von Ecken und solchen ebener, geradliniger Figuren,insbesondere zwischen denjenigen der dreiseitigen Ecke und des geradlinigen Dreiecks bestehen,und bei welchen die ebenen Winkel der ersteren den Seiten, die Flächenwinkel der ersterenden Winkeln des Dreiecks entsprechen.

Die ebenen Winkel einer Ecke und ebenso die Flächenwinkel einer solchenkönnen hohle und überstumpfe sein. So gehört z. B. zu jeder Ecke eine zweite,welche denselben Scheitel und dieselben Kanten wie diese hat, und deren Raumdenjenigen der ersteren zum gesammten Raum ergänzt. Jeder ebene Winkeleiner dieser Ecken beträgt mit dem entsprechenden ebenen Winkel der anderen,und jeder Flächenwinkel der ersteren beträgt mit dem entsprechenden Flächen-winkel der letzteren zusammen vier Rechte und ist also überstumpf, wenn jenerhohl ist. Erweitert man aber jede Seitenfläche einer Ecke zur vollständigenEbene, so wird dieselbe, falls nicht alle ihre Stücke hohle Winkel waren, in zweibis sieben einzelne Ecken zerlegt, deren ebene Winkel und deren Flächenwinkelsämmtlich kleiner als 180° sind. Die so überhaupt entstehenden acht Eckenstehen zu einander in einfachen Beziehungen: Jeder derselben liegen drei andereso an, dass sie mit ihr eine Seitenfläche und also einen ebenen Winkel gemein-sam haben, so z. B. der Ecke 0{ABC) die Ecken 0{ACD), 0(BCF), OiABE),Dieselben mögen Nebenecken der ursprünglichen heissen. Sie stimmen mit

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