2. Verbindung einer Ebene mit einer andern Ebene.
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6. Stimmen zwei dreiseitige Ecken in den drei Flächenwinkelnüberein, so sind dieselben congruent oder symmetrisch (G).
Der Beweis dieses Satzes kann wieder mittelst der Polarecken geführt werden.Letztere müssen in den ebenen Winkeln übereinstimmen, daher sind auch je zweihomologe Flächenwinkel derselben gleich gross, und hieraus folgt wieder rück-wärts die Gleichheit auch je zweier homologen ebenen Winkel der ursprünglichenEcken.
Durch die sechs nunmehr aufgestellten Congruenzsätze für dreiseitige Eckensind alle hierbei möglichen Fälle erschöpft. Dieselben sind einander paarweisezugeordnet, so dass der Beweis eines jeden mit Hülfe des ihm zugeordnetenSatzes und der Polarecke geführt werden kann, sobald dieser letztere Satz alsvorher bewiesen gelten kann. So kann man beispielsweise den fünften der vor-stehenden Sätze auch leicht unmittelbar durch Deckung beweisen und dann ausihm den zweiten mittelst der Polarecken ableiten.
7. Die Congruenzsätze der Ecken zeigen eine grosse Analogie mit denCongruenzsätzen für Dreiecke in der Planimetrie, ebenso wie mehrere der anderenim Vorigen bewiesenen Eigenschaften der Ecken solchen des Dreiecks entsprechen.Daneben zeigen sich aber auch erhebliche Unterschiede, unter denen derjenigebesonders hervorragt, dass die Summe der Flächenwinkel einer dreiseitigen Eckenicht, wie diejenige der Winkel eines Dreiecks, zwei Rechte beträgt, überhauptkeinen bestimmten, sich gleich . bleibenden Werth hat, sondern zwischen denGrenzen von zwei Rechten und sechs Rechten schwankt. Daher fallen bei derEcke auch alle Folgerungen weg, welche denjenigen entsprechen würden, diebei den Dreiecken aus der constanten Winkelsumme hervorgehen. So beruhtes hierauf, dass bei den Ecken auch der Congruenzsatz von den drei Flächen-*winkeln aufzustellen war, da nicht durch je zwei der letzteren der dritte bestimmtist. Ebenso zog der Congruenzsatz von einem ebenen Winkel und den beidenanliegenden Flächenwinkeln (der fünfte obige) nicht denjenigen von einem ebenenWinkel, einem anliegenden und dem gegenüberliegenden Flächenwinkel (d. i. denvierten obigen) als Folge nach sich, und es konnte bei letzterem sogar dieErfüllung einer weiteren Bedingung nothwendig werden.
Die Congruenzsätze für dreiseitige Ecken zeigen, entsprechend denen fürDreiecke, dass durch drei der sechs Stücke einer Ecke im Allgemeinen die dreiübrigen bestimmt sind. Man kann daher die Aufgabe stellen, aus drei gegebenensolchen Bestimmungsstücken die übrigen zu ermitteln, und zwar entweder, wennjene durch Zeichnung gegeben sind, mittelst Construction oder, wenn jene durchihre Maasszahlen gegeben wurden, mittelst Rechnung. Die Aufgabe im letzterenFalle löst die sphärische Trigonometrie; für den ersteren Fall soll dieselbe hiernoch kurz behandelt werden.
Denkt man sich zu einer Ecke O die in § 7 No. 6 angegebene Constructionzweier Neigungswinkel ausgeführt, und seien (Fig. S.414) ABD, ACD diese Neigungs-winkel, so kann man sich jedes der Dreiecke OAB, OAC, ABD, ACD um seinein der Ebene O CDB liegende Seite so gedreht denken, dass es in diese Ebenefallt. Es mögen dann OA x B, O A 2 C, BDA ?t , CDA i der Reihe nach die neuenLagen dieser Dreiecke bezeichnen. Dann müssen A t B und BD, und ebenso-^2 C und CD in je eine Gerade fallen, ferner muss OA x gleich OA 2 und DA.,gleich DA it BA 3 gleich BA X , CA 4 gleich CA%, DA., senkrecht auf DB undsenkrecht auf CD sein, und A 3 BD, A±CD sind den Neigungswinkeln derLcke an den Kanten OB, O C bezüglich gleich. Sind nun die drei ebenen