44°
Stereometrie.
so muss durch den entsprechenden Kreis der betreffende Winkel halbirt werden. —Hieraus ergiebt sich weiter, dass die grössten Kreise, welche die drei Winkel einessphärischen Dreiecks halberen, einander in einem einzigen Punkte schneiden, welchervon den drei Seiten des Dreiecks gleich weit entfernt ist. Diese Entfernung nenntman den sphärischen Radius des dem Dreieck einbeschriebenen Kreises. — DurchHalbirung der Aussenwinkel des Dreiecks erhält man noch drei entsprechende Punkte.
Noch andere Sätze über das sphärische Dreieck, welche solchen vom ebenenDreieck analog sind und auch in entsprechender Weise bewiesen werden können,lassen sich in grosser Anzahl aufstellen. Besondere Erwähnung verdienen vondenselben noch die folgenden Nicht-Congruenz-Sätze:
Stimmen zwei sphärische Dreiecke einer Kugel in zwei Seiten, aber nichtin den eingeschlossenen Winkeln überein, so liegt dem grösseren Winkel einegrössere Seite gegenüber. — Stimmen zwei sphärische Dreiecke einer Kugel inzwei Seiten, aber nicht in den dritten Seiten überein, so liegt der grösseren Seiteein grösserer Winkel gegenüber.
8. Die grosse Mehrzahl derjenigen Eigenschaften sphärischer Dreiecke, inwelchen die Analogie mit Eigenschaften ebener Dreiecke nicht besteht, kann alseine Folge davon betrachtet werden, dass die Summe der Winkel bei den ersterennicht, wie bei den letzteren, einen bestimmten Werth hat. Daher ist zunächsteine Eintheilung der sphärischen Dreiecke nach den Winkeln in derselben Weisewie bei den ebenen Dreiecken nicht möglich; es kann ein sphärisches Dreieckzwei oder drei rechte Winkel, oder gleichzeitig einen rechten und einen stumpfenWinkel haben, u. dgl. m. Doch nennt man, entsprechend wie bei den Eckengeschehen, solche sphärische Dreiecke rechtwinkelige, welche mindestenseinen rechten Winkel haben, und stellt ihnen die schiefwinkeligen als solchegegenüber, in denen kein Winkel ein rechter ist.
Ueber rechtwinkelige sphärische Dreiecke ergiebt sich aus dem an ent-sprechender Stelle bei den Ecken Gesagten, dass in jedem Dreieck, welchesdrei rechte Winkel hat, alle Seiten Quadranten sind, also ebenfalls in Gradmaass90° betragen, und dass umgekehrt in jedem Dreieck, dessen drei Seiten Qua-dranten sind, auch alle drei Winkel rechte sein müssen. Ferner müssen allge-mein in jedem Dreieck, welches zwei rechte Winkel hat, die diesen gegenüber-liegenden Seiten Quadranten sein, und die dritte Seite giebt dann das Bogen-maass des dritten Winkels. Auch dieser Satz lässt sich umkehren.
Hiernach darf man bei der Untersuchung der besonderen Eigenschaftenrechtwinkeliger Dreiecke namentlich solche in’s Auge fassen, die einen einzigenrechten Winkel haben, da alle übrigen durch die eben angegebenen besonderenEigenschaften ausgezeichnet sind.
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(M. 195.)
Um nun ein rechtwinkeliges Dreieck ABC zuconstruiren, für welches ein Winkel A durch zweieinander schneidende grösste Kreise gegeben ist, hatman durch die Achse PP' eines dieser Kreise irgendeinen dritten grössten Kreis PCB zu legen. Es seiferner PDE der zu den beiden ersten gleichzeitigsenkrechte grösste Kreis, also DE das Bogenmaassdes Winkels DAE, so ist für einen spitzen WinkelA dieser Bogen kleiner als 90 Grad. Jeder andereauf AE senkrechte Bogen CB aber ist kleinerals DE, denn PMD ist der Neigungswinkel