I. Die Bestimmung der Winkel.

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cos ec a.

sm a

aus. Da man mit demselben Rechte dieselbe Beziehung zwischen den beiden

Functionen durch- = sina darstellen kann, so ziehen wir vor, beide Formen

cos ec a ’ ’

gleichsam zu verschmelzen in der folgenden

sin a ■ c ose ca. = 1.

«u ■ sec a =1 (1)

tanga • cota. = 1

Entsprechend ist

Aus dem Gesetze — : —c c

: — = ergiebt sich ferner

sin acos a

tanga, oder

Endlich besteht zwischen den Seiten des rechtwinkeligen Dreiecks zufolgedes pythagoreischen Lehrsatzes die Beziehung a 2 +< b 2 — c 2 , aus welcher durchDivision jedes Gliedes mit c 2

+ jr = ^2’ oder (T 7 + (7) = 1 > d - L die Formel

sin 2 a -h cos 2 a = 1, (3)

und in ähnlicher Weise durch Division mit b 2 oder a 2 ,

tang 2 a + 1 = sec 2 a\ 1 + cot 2 a — cosec 2 a

folgt.

Die Schreibweise sin 2 a für (sina) 2 u. s. w. wird in manchen Schriften durch sina 2 ersetzt.

2. Die vorstehenden Formeln gestatten aus jeder gegebenen Function einesWinkels jede andere Function desselben Winkels zu berechnen. Ist z. B. sinagegeben, so findet man aus (3)

cos a = Y1 —

sin 2 a,

darauf tanga aus (2) und die übrigen Functionen durch die reciproken Wertheaus (1). Ist tanga gegeben, so findet man zunächst durch Auflösen derGleichungen (2) und (3) auf die beiden Unbekannten sina. und cosa die Wertheder letzteren, und hat dann noch (1) zu benutzen. Oder man berechnet zuerst

sec a —y\-\-tang 2 a, hieraus cosa, dann aus (2) sina mittelst sina

cosa ■ tanga, u. s. w.

Einfacher noch gestaltet sich das Verfahren, wenn man a als Winkel einesrechtwinkeligen Dreiecks annimmt, dessen Seiten man einzeln ausdrückt. Nimmtman z. B. der Kürze halber die dem Nenner der gegebenen Function ent-sprechende Seite gleich 1 an, setzt also die dem Zähler entsprechende gleichder Function und berechnet dann die dritte Seite mittelst des pythagoreischenLehrsatzes, so ergeben sich die gesuchten Functionen unmittelbar aus ihrenobigen Erklärungen.

Es sei z. B. = gegeben, so setze man die Hypotenuse des betreffenden recht-winkeligen Dreiecks gleich 13, also die dem Winkel a gegenüberliegende Kathete gleich 12.Aus dem pythagoreischen Lehrsatz folgt dann, dass die anliegende Kathete gleich j/l69—144= 5 ist, und somit sind die übrigen Functionen von a,

tang a — ^ , cota. = T 5 ^, seca —

t.' 1 , tos sc a — II*

Ist dagegen beispielsweise coty — 0,8 gegeben, so kann man die dem Winkel y gegenüber-

liegende Kathete gleich 10, die ihm anliegende also gleich 8 setzen und erhält dann für die

Hypotenuse die Maasszahl Y 100 + 64 = 12,806 .... woraus sina = = 0,780 . . . u. s. w.

folgt.