4. Das allgemeine Dreieck.

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ß 2 = P _|_pi ; p = JA — q 2 ; ^2 _ ^ also

a i — p — qi + (r zp ^) 2 — ^ 2 — ^f 2 -f- z 2 qr 2 cq + £r 2 , oder

« 2 — p ^2 qr 2 <ry.

Hierbei gilt das Zeichen — vor dem letzten Gliede, wenn der Winkel aspitz, das Zeichen +, wenn derselbe stumpf ist. Im ersteren Falle ergiebt sichaus dem Dreieck A CD, q = b • cos a, im letzteren q — b ■ (180° — a) = — b ■ cosa,

daher ist in beiden Fällen

P = P -p <:2 — • rßya. (2)

Auch dieser Satz lässt sich selbstverständlich durch Vertauschung der Seitenund Winkel in noch zwei Formen aufstellen, nämlich

l>i = ß 2 -p c 2 — 2 ac • cosft (2 a )c 2 = ß 2 -(- b- — 2 ab • i :os-(. ( 2 b )

Derselbe ist offenbar identisch mit dem Satze, welcher bereits in der Plani-metrie § 44, (3) und § 48, (5) abgeleitet wurde. Wir bezeichnen deshalb den-selben auch in seiner hier vorliegenden trigonometrischen Fassung mit dem dortangegebenen Namen des allgemeinen pythagoreischen Lehrsatzes.

Die beiden vorstehenden Sätze gelten nicht bloss für schiefwinkelige, sondernauch für rechtwinkelige Dreiecke. Ist z. B. 7 = 90°, so geht der erstere über in

a : b : c — sina : sinfi : 1 ,

d. i. in die bekannten Formeln a : c = sina, b : c = «»ß, a\ b = sina. : rmß, d. h.wegen ß = 90° — a, a : b = sina : cosa = tanga. Ebenso geht für 7 = 90 ° diedritte Form des zweiten Satzes wegen cos-( — Q über in c 2 = ß 2 -+- P, d. i. inden speciellen pythagoreischen Lehrsatz, und die beiden anderen Formen inFolge dessen in

« 2 — b 2 -+- ß 2 -+- £ 2 — 2 bc cosa, d. i. 2b^ = 2bc cosa; b = c • cosa, und entsprechenda = c ■ cos$ = c ■ sina.

Die beiden vorstehenden Lehrsätze haben also allgemeine Gültigkeit unddürfen daher auch auf rechtwinkelige Dreiecke angewendet werden, z. B. wennes nicht im Voraus bekannt gewesen sein sollte, dass einer der Winkel einesaufzulösenden Dreiecks ein rechter war.

2. Ehe wir zur Anwendung der beiden Sätze (1) und (2) auf die Berechnungvon Dreiecken übergehen, wollen wir diese Sätze selbst noch einer genauerenBetrachtung unterziehen.

Der Sinussatz lässt sich auch in der Gestalt

a b c

sina sin$ sin~(

schreiben. In dieser Form haben die drei Seiten desselben eine bemerkens-werthe geometrische Bedeutung: Sind nämlich in einem und demselben Kreisebeliebige Sehnen a, b, c, . . . gezogen, und sind a, ß, 7 , . . . bezüglich zu diesenSehnen gehörige Peripheriewinkel, so ist, wie bereits im § 13 gezeigt wurde,a = 2 z- • sina, b = 2r • «Vzß, c = 2r • «« 7 ,wenn r den Radius des Kreises bedeutet. Daher ist2 et b c

sina sin$ sin 7

Da sich nun um jedes Dreieck ein Kreis beschreiben lässt, so ergiebt sichhieraus der Sinussatz in der obigen Form und zugleich die geometrische Deutungder drei Seiten desselben als des Durchmessers des dem Dreieck umbeschriebenenKreises.

Der allgemeine pythagoreische Lehrsatz, welcher in seiner obigen

Schlosmilch, Handbuch der Mathematik. Bd. I. 93