4. Das allgemeine Dreieck.
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3. Die vorstehenden Formeln können ganz in gleicher Weise wie die voran-gegangenen benutzt werden. Zweckmässiger noch ist, aus beiden Gruppen vonFormeln durch Division je zweier einander entsprechenden eine dritte Gruppeabzuleiten. Unter Berücksichtigung der arithmetischen SätzeY m i / m , a b
1 fm a
— = 1/ -und — . — ,
y n ' n c c b
= ~r erhält man leicht
tang
:*-n.
(a — b -+- c) (a + b — c)
c){b-
a)
b — c) (b 4- c — a)
c)(a-
■c)
tang :
c — a) (a — b -4- c)
(a ■
b —(— c ) [0 -t- b — c]
Man kann die für die Functionen der halben Winkel in diesem Paragraphengefundenen Formeln noch in abgekürzter Weise schreiben, indem man für denUmfang a -+- b -+- c des Dreiecks die Bezeichnung 2 ■ s einftihrt. Dann ista - 4 - b — c — a b c — 2c = 2 (s — c), und entsprechenda — b c = 2(s — b), b - 4 - c — a = 2 (s — ä).
Durch Einführung dieser Abkürzungen erhalten die Formeln (3) die Gestalt
tang \
ta ng £ ß
tang 1 1
-V■
t(s
-b)
(s
—
a)
s (s -
a)
V
— a)
(•f
s (s -
b)
V
— a)
(•f
—
b)
(3 a
5 (r — c)
4. Für die gleichzeitige numerische Berechnung der drei Winkel lassen siesich endlich in eine noch bequemere Form bringen, indem man die Radicandenbezüglich mit (s — a), (s — b), (s — c ) erweitert und die in den Nennern ent-stehenden quadratischen Faktoren vor die Wurzelzeichen bringt, also z. B.
tang % t
(s — a) (s — b) (s — c)
(s — <d 2
=j/-
.f — C '
(s — a) (s — b) (s — c)
setzt. Führt man dann noch für die allen drei Formeln jetzt gemeinschaftlicheWurzelgrösse eine kürzere Bezeichnung ein, setzt also
(s — a) (s — b) (s — c)
= P>
(4)
so hat man die einfachen Gleichungen:
P
tang ^ a = -
tang £ß =
tang\ y = -
(5)
s — a' “ •“ s — b’ 0 21 s — c
Die numerische Berechnung kann nunmehr nach Anleitung des folgendenSchemas und Beispiels geschehen:
:!
2 s
s
s — a
s — b
•+
s — c
log (s —
«))
log tang % a
a
log (s —
-b)\ +
log tang
ß
log (s —
■c)\
log tang
7-
log Z \
I a
logs j
Iß
tag p 2
ll
lag P
90°
2 s