Anh. I, zum ersten Abschnitt. Die Auflösung trigonom. Bestimmungs-Gleichungen. 527

sin a + sin b = 2 sin ^{a. 4 - b) cos ^ (a — b)die linke Seite der gegebenen Gleichung zu 2 sin x ■ cos a zusammenfassen underhält dann ohne Weiteres

b

Zuweilen ist es vortheilhaft, umgekehrt statt des in der gegebenen Gleichungenthaltenen unbekannten Winkels x einen anderen, von ihm abhängigen Winkeleinzuführen und die Gleichung auf eine Function des letzteren aufzulösen. Sokann man z. B. die Gleichung

sin x -+- cos x — c

durch Erheben beider Seiten in’s Quadrat zunächst in

sin 2 x 4 - cos 2 x 4 - 2 sin x cos x = c 2umformen, woraus dann leicht

1 4- sin 2 x — c 2 ,sin 2x = c 2 — 1

folgt. Hierbei ist jedoch wieder die Vermehrung der Wurzeln durch das Quadrirenzu beachten. Ist beispielsweise c = -+- % f/ 6 , so ist sin 2 x = ■£, woraus 2 x — 30°oder 150° oder 390®, 510° u. s w., also x= 15°, 75°, 195°, 255° u. s. w. folgenwürde. Allein die Winkel 195° und 255° haben negative Sinus und Cosinus undentsprechen daher nicht der oben gegebenen Gleichung, sondern der anderen

sin x -+- cos x = — c,

welche durch Quadriren beider Seiten zu derselben Schlussgleichung, wie jeneführt.

Enthält endlich eine Gleichung Functionen zweier oder mehrerer Winkel,die sich nicht auf denselben Winkel zurückführen lassen, so hat man ebenso vieleverschiedene Unbekannte anzunehmen, bedarf dann selbstverständlich einergleichen Anzahl von Bestimmungsgleichungen und bedient sich der aus derArithmetik bekannten Eliminations-Methoden.

4. Kommen in einer oder mehreren gegebenen Gleichungen nicht blosstrigonometrische Functionen unbekannter Winkel, sondern auch solche Winkelselbst vor, so kann die Auflösung erheblich erschwert sein. Wir wollen zu-nächst den einfacheren Fall voraussetzen, dass jede einzelne gegebene Gleichungentweder nur trigonometrische Functionen der Unbekannten oder nur diese letzterenselbst enthalte, dass aber zwei oder mehrere solche Gleichungen von beidenArten für mehrere Unbekannte verbunden seien.

In diesem Falle kann man stets aus denjenigen gegebenen Gleichungen,welche die unbekannten Winkel selbst enthalten, eine gleiche Anzahl der letzterendurch die übrigen ausdrücken, die gefundenen Ausdrücke in die gegebenenGleichungen der anderen Art substituiren und dann die Eliminationsgleichungen,wie vorher angegeben, behandeln.

Es seien z. B. die Gleichungen

x 4 -j y = asin x 4- sin y — b

aufzulösen, so kann man aus der ersten derselben y — a — x in die zweite ein-setzen, und dann die Eliminationsgleichung

sin x 4 - sin (a — x) = b

mittelst der Umformungen

sin x -+- sin a cos x — cos a ■ sin x = bsin x (1 — cos a) 4 - sin a ■ cos x = b